Propositielogica is een tak van de wiskunde die de logische relaties bestudeert tussen proposities (of uitspraken, zinnen, beweringen) als geheel genomen en verbonden via logische verbindingen.
In dit artikel hebben we uitgebreid ingegaan op propositielogica en aanverwante onderwerpen.
Inhoudsopgave
Wat is logica?
Logica is de basis van alle wiskundige redeneringen en alle geautomatiseerde redeneringen. De regels van de logica specificeren de betekenis van wiskundige uitspraken. Deze regels helpen ons uitspraken te begrijpen en te redeneren als:
Wat in eenvoudig Engels betekent Er bestaat een geheel getal dat niet de som is van twee kwadraten .
Belang van wiskundige logica
De regels van de logica geven precieze betekenis aan wiskundige uitspraken. Deze regels worden gebruikt om onderscheid te maken tussen geldige en ongeldige wiskundige argumenten. Afgezien van het belang ervan voor het begrijpen van wiskundig redeneren, heeft logica talloze toepassingen in de informatica, variërend van het ontwerp van digitale schakelingen tot de constructie van computerprogramma's en de verificatie van de juistheid van programma's.
Propositionele Logica
Wat is een voorstel? Een propositie is de fundamentele bouwsteen van logica. Het wordt gedefinieerd als een declaratieve zin die waar of onwaar is, maar niet beide. De Waarheidswaarde van een propositie is Waar (aangeduid als T) als het een ware bewering is, en Onwaar (aangeduid als F) als het een valse bewering is. Bijvoorbeeld,
- De zon komt op in het oosten en gaat onder in het westen.
- 1 + 1 = 2
- ‘b’ is een klinker.
Alle bovenstaande zinnen zijn stellingen, waarbij de eerste twee Geldig(Waar) zijn en de derde Ongeldig(Onwaar). Sommige zinnen die geen waarheidswaarde hebben of mogelijk meer dan één waarheidswaarde hebben, zijn geen proposities. Bijvoorbeeld,
- Hoe laat is het?
- Ga naar buiten en speel
- X+1=2
De bovenstaande zinnen zijn geen stellingen, aangezien de eerste twee geen waarheidswaarde hebben en de derde waar of onwaar kan zijn. Om stellingen weer te geven, propositionele variabelen worden gebruikt. Volgens afspraak worden deze variabelen weergegeven door kleine alfabetten zoals
Propositionele Logica
faculteit in c
Waarheidstabel
Omdat we de waarheidswaarde van een propositie in alle mogelijke scenario's moeten kennen, beschouwen we alle mogelijke combinaties van de proposities die door Logical Connectives worden samengevoegd om de gegeven samengestelde propositie te vormen. Deze compilatie van alle mogelijke scenario's in tabelvorm wordt a waarheidstabel . Meest voorkomende logische verbindingen-
1. Negatie
Als
| P | ¬p |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
Voorbeeld, Ontkenning van Het regent vandaag, het is niet zo dat het vandaag regent, of het regent gewoon niet vandaag.
2. Conjunctie
Voor twee willekeurige stellingen
| P | Q | p ∧ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
Voorbeeld, Conjunctie van de stellingen
3. Disjunctie
Voor twee willekeurige stellingen
log4j
| P | Q | p ∨ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Voorbeeld, Disjunctie van de stellingen
4. Exclusief Or
Voor twee willekeurige stellingen
| P | Q | p ⊕ q |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Voorbeeld, Exclusief of van de voorstellen
5. Implicatie
Voor twee willekeurige stellingen
| P | Q | p → q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Je zou je kunnen afvragen waarom dat zo is
Dit volgt uit de Explosieprincipe die zegt: Een valse bewering impliceert alles. Voorwaardelijke uitspraken spelen een zeer belangrijke rol in wiskundig redeneren, daarom wordt er een verscheidenheid aan terminologie gebruikt om uit te drukken
Als p, dan is qp voldoende voor qq als pa noodzakelijke voorwaarde voor p alleen qp is als qq tenzij ≠pq volgt uit p
Voorbeeld, Als het vrijdag is, dan regent het vandaag, is een voorstel dat van de vorm is
6. Bivoorwaardelijke of dubbele implicatie
Voor twee willekeurige stellingen
| P | Q | p ↔ q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
Enkele andere veel voorkomende manieren om zich uit te drukken
p is noodzakelijk en voldoende voor qif p dan q, en omgekeerd p als q
Voorbeeld: Het regent vandaag alleen dan als het vandaag vrijdag is. is een propositie die van de vorm is
hoe een json-bestand te openen
1) Denk eens aan de volgende uitspraken:
- P: Goede mobiele telefoons zijn niet goedkoop.
- Vraag: Goedkope mobiele telefoons zijn niet goed.
- L: P impliceert Q
- M: Q impliceert P
- N: P is gelijk aan Q
Welke van de volgende uitspraken over L, M en N is JUIST? (Gate 2014)
(A) Alleen L is WAAR.
(B) Alleen M is WAAR.
(C) Alleen N is WAAR.
(D) L, M en N zijn WAAR.
Voor oplossing, zie POORT | GATE-CS-2014-(Set-3) | Vraag 11
2) Welke van de volgende is niet gelijk aan p?q (Gate 2015)
Voor oplossing, zie POORT | GATE-CS-2015 (Set 1) | Vraag 65