Eén-op-één-functie of One-One-functie is een van de soorten functies gedefinieerd over domein en codomein en beschrijft het specifieke type relatie tussen domein en codomein. Eén-op-één-functie wordt ook wel de injectiefunctie genoemd. Eén-op-één-functie is een wiskundige functie waarbij elk element in het domein toegewezen aan een uniek element in het codomein .

In dit artikel wordt het concept van één-op-één-functie of één-één-functie gedetailleerd onderzocht, inclusief de definitie en voorbeelden die u helpen het concept gemakkelijk te begrijpen. We bespreken ook enkele voorbeeldproblemen en geven enkele oefenproblemen die u kunt oplossen. Laten we dus eens kijken naar dit belangrijke concept in de wiskunde dat bekend staat als één-op-één-functie.

Inhoudsopgave

• Wat is één-op-één-functie?
• Voorbeelden van één-op-één-functies
• Eigenschappen van één-op-één-functies
• Eén-op-één-functie en On-functie
• Opgeloste voorbeelden van één-op-één-functie

Wat is één-op-één-functie?

Een één-op-één-functie, ook wel injectieve functie genoemd, is een functie waarbij verschillende elementen van A verschillende elementen hebben die verband houden met B, of waarbij verschillende elementen van A verschillende afbeeldingen in B hebben.

Als er verschillende afbeeldingen zijn voor een functie, betekent dit dat het alleen mogelijk is voor één-op-een als de voorafbeeldingen verschillend waren als B-set verschillende elementen heeft, wat betekent dat het alleen mogelijk is als A-set verschillende elementen had waarvoor deze de voorafbeeldingen.

c-codearray van tekenreeksen

Eén-op-één functiedefinitie

Een functie ‘f’ van een set ‘A’ naar set ‘B’ is één-op-één als er geen twee elementen in ‘A’ zijn toegewezen aan hetzelfde element in ‘B.’

Laten we deze twee diagrammen eens bekijken. Voor diagram A realiseren we ons dat 10 overeenkomt met 1, 20 verwijst naar 2 en 30 verwijst naar 3.

Voor diagram B is het echter duidelijk dat 10 en 30 overeenkomen met 3 en vervolgens 20 met 1.

Omdat we elementen in het domein hebben die overeenkomen met verschillende waarden in elk domein voor diagram A, wordt de functie één-op-één, dus ons diagram B is niet één op één.

Dit kan wiskundig worden uitgedrukt als

f(a) = f(b) ⇒ een = b

Voorbeeld van één-op-één-functies

• Identiteitsfunctie: De identiteitsfunctie is een eenvoudig voorbeeld van een één-op-één-functie. Er is een invoer nodig en retourneert dezelfde waarde als de uitvoer. Voor elk reëel getal x wordt de identiteitsfunctie gedefinieerd als:

f(x) = x

Elke afzonderlijke invoer x komt overeen met een afzonderlijke uitvoer f(x), waardoor het een één-op-één-functie wordt.

• Lineaire functie: Een lineaire functie is een functie waarbij de hoogste macht van de variabele 1 is. Bijvoorbeeld:

f(x) = 2x + 3

Dit is een één-op-één-functie, want welke waarde van x u ook kiest, u krijgt een unieke waarde voor f(x).

• Absolute waardefunctie: De absolute waardefunctie f(x)=∣x∣ is ook een één-op-één-functie. Voor elk reëel getal x retourneert de absolute-waardefunctie een niet-negatieve waarde, en verschillende waarden van x resulteren in verschillende absolute waarden.

Laten we een voorbeeld van een één-op-één-functie bewijzen.

Voorbeeld: Bewijs dat de functie f(x) = 1/(x+2), x≠2 één-op-één is.

Oplossing:

Volgens één-op-één-functie weten we dat

f(a) = f(b)

vervang a door x en x door b

f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

vermenigvuldig de bovenstaande vergelijking kruislings

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴ een=b

Omdat a = b wordt gezegd dat de functie een-op-een-functie is.

Eigenschappen Eén-op-één-functies

Laten we bedenken dat f en g twee één-op-één-functies zijn, de eigenschappen zijn als volgt:

• Als f en g beide één op één zijn, volgt f ∘ g de injectiviteit.
• Als g ∘ f één op één is, dan is functie f één op één, maar functie g mogelijk niet.
• f: X → Y is één-één, dan en slechts dan als, gegeven alle functies g, h: P → X wanneer f ∘ g = f ∘ h, dan g = h. Met andere woorden: één-één-functies zijn precies de monomorfismen in de categorieverzameling sets.
• Als f: X → Y één-één is en P een deelverzameling van X is, dan is f^-1(f(A)) = P. P kan dus worden opgehaald uit zijn afbeelding f(P).
• Als f: X → Y één-één is en P en Q beide deelverzamelingen van X zijn, dan is f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
• Als zowel X als Y beperkt zijn tot hetzelfde aantal elementen, dan is f: X → Y één-één, dan en slechts dan als f surjectief of op functie is.

Grafiek van één-op-één-functie

Laten we een van de grafische weergaven van een-op-een-functie bekijken

De bovenstaande grafiek van functie f(x)= √x toont de grafische weergave van een één-op-één-functie.

Horizontale lijntest

Een functie is één-op-één als elke horizontale lijn de grafiek niet op meer dan één punt snijdt.

Laten we een lineaire functie als voorbeeld gebruiken. Laten we het f(x) noemen, dus f(x) heeft een inverse functie. Om te bepalen of f(x) een inverse functie heeft, moet je aantonen dat het een één-op-één-functie is, je moet aantonen dat de horizontale-lijntest doorstaat. Dus als we een horizontale lijn tekenen en f(x) de horizontale lijn meer dan één keer raakt, betekent dit dat f(x) geen één-op-één-functie is en geen inverse functie heeft.

In het bovenstaande voorbeeld snijdt het de horizontale lijn slechts op één punt. Dus f(x) is een één-op-één-functie, wat betekent dat het een inverse functie heeft.

Inverse van één-op-één-functie

Laat f een één-op-één-functie zijn met een domein A en bereik B. Dan is de inverse van f een functie met domein B en bereik A gedefinieerd door f^-1(y) =x dan en slechts dan als f(x)=y voor elke y in B. Onthoud altijd dat een functie een inverse heeft dan en slechts dan als deze één-op-één is. Een functie is één-op-één als de hoogste exponent een oneven getal is. Maar als het hoogste getal een even getal of een absolute waarde is, is dit geen één-op-één-functie.

Voorbeeld: f(x)=3x+2 zoek de inverse van de functie

Oplossing:

schrijf de functie in de vorm y=f(x).

⇒ y=3x+2

laten we y- en x-variabelen uitwisselen

⇒ x=3y+2

los y op in termen van x

⇒ x-2=3y

deel de vergelijking door 3

⇒ (x-2)/3=3y/3

⇒ y=(x-2)/3

∴f-1(x)=(x-2)/3

Eén-op-één-functie en On-functie

De belangrijkste verschillen tussen One to One en Onto Functions worden weergegeven in de volgende tabel:

De volgende illustratie laat het duidelijke verschil zien tussen één en één functie:

Lees verder,

• Functies
• Soorten functies
• Relatie en functie

Problemen met één-op-één-functie opgelost

Laten we enkele problemen oplossen om één-op-één-functies te illustreren:

Probleem 1: Bepaal of de volgende functie één-op-één is: f(x) = 3x – 1

Oplossing:

Oplossing 1: Om te controleren of het één-op-één is, moeten we laten zien dat geen twee verschillende x-waarden naar dezelfde y-waarde verwijzen.

Stel f(a) = f(b), waarbij a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

een = b

Omdat de enige manier voor f(a) = f(b) is wanneer a = b, is deze functie inderdaad één-op-één.

Probleem 2: Bepaal of de volgende functie één-op-één is: g(x) = x ²

Oplossing:

Oplossing 2: We gebruiken de horizontale lijntest door de functie in een grafiek weer te geven. Als een horizontale lijn de grafiek meer dan één keer snijdt, is dit niet één-op-één.

De grafiek van g(x) = x^2 is een parabool die naar boven opent. Elke horizontale lijn snijdt de grafiek slechts één keer, dus deze functie is niet één-op-één.

Oefen problemen met één-op-één-functies

Probleem 1: Bepaal of de volgende functie één-op-één is:

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = 3x²- 1
• h(x) =³√x

Probleem 2: Zoek een functie die één-op-één is van de verzameling reële getallen naar de verzameling reële getallen.

Probleem 3: Gegeven de functie g(x) = x²+ 1, bepaal of het één-op-één is voor het hele domein.

Probleem 4: Beschouw de functie h(x) = e^X. Is het een één-op-één-functie?

Probleem 5: Zoek de inverse functie van f(x) = 4x – 7 en bepaal het domein ervan.

Probleem 6: Bepaal of de functie p(x) = √x één-op-één is.

Probleem 7: Gegeven q(x) = x/2, zoek het domein en het bereik van de functie.

Probleem 8: Controleer of de functie r(x) = sin (x) één-op-één is over het interval [0, π].

Probleem 9: Beschouw de functie s(x) = |x|. Is het een één-op-één-functie?

Probleem 10: Bepaal of de functie t(x) = 1/x één-op-één is en vind het domein ervan.

Eén-op-één-functies – Veelgestelde vragen

1. Wat is een één-op-één-functie?

Een één-op-één-functie is een wiskundige functie die elk element in zijn domein toewijst aan een uniek element in zijn codomein. Met andere woorden, het wijst niet twee verschillende elementen in het domein toe aan hetzelfde element in het codomein.

2. Hoe kan ik bepalen of een functie één-op-één is?

U kunt de horizontale lijntest gebruiken. Als geen enkele horizontale lijn de grafiek van de functie meer dan één keer snijdt, is er sprake van een één-op-één-functie.

3. Wat is het verschil tussen een één-op-één-functie en een aan-functie?

Een één-op-één-functie zorgt ervoor dat geen twee afzonderlijke elementen in het domein worden toegewezen aan hetzelfde element in het codomein, terwijl een on-functie, ook wel surjectieve functie genoemd, ervoor zorgt dat elk element in het codomein wordt toegewezen door ten minste één element in het domein.

4. Zijn alle lineaire functies één-op-één?

Nee, niet alle lineaire functies zijn één-op-één. F(x) = 2x is bijvoorbeeld één-op-één, maar g(x) = 2x + 1 is dat niet omdat het twee verschillende x-waarden toewijst aan dezelfde y-waarde (bijvoorbeeld g(1) = 3 en g(2) = 5).