Newton Raphson-methode of Newton-methode is een krachtige techniek voor het numeriek oplossen van vergelijkingen. Het wordt het meest gebruikt voor het benaderen van de wortels van de functies met reële waarde. De Newton Rapson-methode is ontwikkeld door Isaac Newton en Joseph Raphson, vandaar de naam Newton Rapson-methode.
De Newton Raphson-methode omvat het iteratief verfijnen van een initiële schatting om deze naar de gewenste wortel te convergeren. De methode is echter niet efficiënt om de wortels van polynomen of vergelijkingen met hogere graden te berekenen, maar in het geval van vergelijkingen met kleine graden levert deze methode zeer snelle resultaten op. In dit artikel zullen we leren over de Newton Raphson-methode en de stappen om de wortels ook met deze methode te berekenen.
Inhoudsopgave
- Wat is de Newton Raphson-methode?
- Newton Raphson-methodeformule
- Berekening van de Newton Raphson-methode
- Voorbeeld van de Newton Raphson-methode
- Opgeloste problemen van de Newton Raphson-methode
Wat is de Newton Raphson-methode?
De Newton-Raphson-methode, ook bekend als de methode van Newton, is een iteratieve numerieke methode die wordt gebruikt om de wortels van een functie met reële waarde te vinden. Deze formule is vernoemd naar Sir Isaac Newton en Joseph Raphson, omdat zij onafhankelijk hebben bijgedragen aan de ontwikkeling ervan. Newton Raphson Method of Newton's Method is een algoritme om de wortels van nullen van de functies met reële waarde te benaderen, waarbij gebruik wordt gemaakt van gissingen voor de eerste iteratie (x0) en vervolgens de volgende iteratie (x1) dat dicht bij de wortels ligt, met behulp van de volgende formule.
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
waar,
- X 0 is de beginwaarde van x,
- f(x 0 ) is de waarde van de vergelijking bij de beginwaarde, en
- f'(x 0 ) is de waarde van de eerste orde afgeleide van de vergelijking of functie bij de initiële waarde x0.
Opmerking: f'(x0) mag niet nul zijn, anders verandert het breukgedeelte van de formule in oneindig, wat betekent dat f(x) geen constante functie mag zijn.
Newton Raphson-methodeformule
In de algemene vorm wordt de formule van de Newton-Raphson-methode als volgt geschreven:
X N = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )
Waar,
- X n-1 is de geschatte (n-1)ewortel van de functie,
- f(x n-1 ) is de waarde van de vergelijking op (n-1)egeschatte wortel, en
- f'(x n-1 ) is de waarde van de eerste orde afgeleide van de vergelijking of functie bij xn-1.
Berekening van de Newton Raphson-methode
Neem de vergelijking of functies aan waarvan de wortels moeten worden berekend als f(x) = 0.
Om de geldigheid van de Newton Raphson-methode te bewijzen, worden de volgende stappen gevolgd:
Stap 1: Teken een grafiek van f(x) voor verschillende waarden van x, zoals hieronder weergegeven:
Stap 2: Er wordt een raaklijn getrokken naar f(x) bij x0. Dit is de initiële waarde.
Stap 3: Deze raaklijn zal de X-as op een vast punt (x1,0) als de eerste afgeleide van f(x) niet nul is, d.w.z. f'(x 0 ) ≠ 0.
Stap 4: Omdat deze methode uitgaat van iteratie van wortels, is deze x1wordt beschouwd als de volgende benadering van de wortel.
Stap 5: Nu worden de stappen 2 tot en met 4 herhaald totdat we de eigenlijke wortel x bereiken*.
Nu weten we dat de helling-snijpuntvergelijking van elke lijn wordt weergegeven als y = mx + c,
Waar M is de helling van de lijn en C is het x-snijpunt van de lijn.
Met dezelfde formule krijgen we
y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )
Hier f(x0) vertegenwoordigt de c en f'(x0) vertegenwoordigt de helling van de raaklijn m. Omdat deze vergelijking geldt voor elke waarde van x, moet deze ook gelden voor x1. Dus vervang x door x1, en door de vergelijking gelijk te stellen aan nul terwijl we de wortels moeten berekenen, krijgen we:
0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (X 1 −x 0 )
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
Dat is de formule van de Newton Raphson-methode.
Zo werd de methode van Newton Raphson wiskundig bewezen en als geldig aanvaard.
Convergentie van de Newton Raphson-methode
De Newton-Raphson-methode heeft de neiging te convergeren als de volgende voorwaarde waar is:
|f(x).f(x)| <|f'(x)|2
Het betekent dat de methode convergeert wanneer de modulus van het product van de waarde van de functie op x en de tweede afgeleide van een functie op x kleiner is dan het kwadraat van de modulo van de eerste afgeleide van de functie op x. De Newton-Raphson-methode heeft een convergentie van orde 2, wat betekent dat er een kwadratische convergentie is.
Opmerking:
De methode van Newton Raphson is niet geldig als de eerste afgeleide van de functie 0 is, wat betekent dat f'(x) = 0. Het is alleen mogelijk als de gegeven functie een constante functie is.
string.waardevan java
Artikelen gerelateerd aan de Newton Raphson-methode:
- Newtons methode voor het vinden van wortels
- Verschil tussen de Newton Raphson-methode en de reguliere Falsi-methode
- Verschil tussen bisectiemethode en Newton Raphson-methode
- Rootzoekalgoritme
Voorbeeld van de Newton Raphson-methode
Laten we het volgende voorbeeld bekijken om meer te leren over het proces van het vinden van de wortel van een functie met reële waarde.
Voorbeeld: Voor de beginwaarde x 0 = 3, benadert de wortel van f(x)=x 3 +3x+1.
Oplossing:
Gegeven, x0= 3 en f(x) = x3+3x+1
f'(x) = 3x2+3
f'(x0) = 3(9) + 3 = 30
f(x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37
Met behulp van de Newton Raphson-methode:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
= 3 – 37/30
= 1,767
Opgeloste problemen van de Newton Raphson-methode
Probleem 1: Voor de beginwaarde x 0 = 1, benadert de wortel van f(x)=x 2 −5x+1.
Oplossing:
Gegeven, x0= 1 en f(x) = x2-5x+1
f'(x) = 2x-5
f'(x0) = 2 – 5 = -3
f(x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3
Met behulp van de Newton Raphson-methode:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
⇒x1= 1 – (-3)/-3
⇒x1= 1 -1
⇒x1= 0
Probleem 2: Voor de beginwaarde x 0 = 2, benadert de wortel van f(x)=x 3 −6x+1.
Oplossing:
Gegeven, x0= 2 en f(x) = x3-6x+1
f'(x) = 3x2– 6
f'(x0) = 3(4) – 6 = 6
f(x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3
Met behulp van de Newton Raphson-methode:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
⇒x1= 2 – (-3)/6
⇒x1= 2 + 1/2
⇒x1= 5/2 = 2,5
Probleem 3: Voor de beginwaarde x 0 = 3, benadert de wortel van f(x)=x 2 −3.
Oplossing:
knop om css te centreren
Gegeven, x0= 3 en f(x) = x2-3
f'(x) = 2x
f'(x0) = 6
f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6
Met behulp van de Newton Raphson-methode:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
⇒x1= 3 – 6/6
⇒x1= 2
Probleem 4: Vind de wortel van de vergelijking f(x) = x 3 – 3 = 0, als de beginwaarde 2 is.
Oplossing:
Gegeven x0= 2 en f(x) = x3- 3
f'(x) = 3x2
f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12
f(x0) = 8 – 3 = 5
Met behulp van de Newton Raphson-methode:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
⇒x1= 2 – 5/12
⇒x1= 1.583
Opnieuw de Newton Raphson-methode gebruiken:
X2= 1,4544
X3= 1,4424
X4= 1,4422
Daarom is de wortel van de vergelijking ongeveer x = 1,442.
Probleem 5: Vind de wortel van de vergelijking f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, als de beginwaarde 3 is.
schelp sorteren
Oplossing:
Gegeven x0= 3 en f(x) = x3– 5x + 3 = 0
f'(x) = 3x2- 5
f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22
f(x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15
Met behulp van de Newton Raphson-methode:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
⇒x1= 3 – 15/22
⇒x1= 2,3181
Opnieuw de Newton Raphson-methode gebruiken:
X2= 1,9705
X3= 1,8504
X4= 1,8345
X5= 1,8342
Daarom is de wortel van de vergelijking ongeveer x = 1,834.
Veelgestelde vragen over de Newton Raphson-methode
Vraag 1: Definieer de Newton Raphson-methode.
Antwoord:
De Newton Raphson-methode is een numerieke methode om de wortels van een bepaalde functie met reële waarde te benaderen. Bij deze methode hebben we verschillende iteraties gebruikt om de wortels te benaderen, en hoe hoger het aantal iteraties, hoe minder fouten in de waarde van de berekende wortel.
Vraag 2: Wat is het voordeel van de Newton Raphson-methode?
Antwoord:
De Newton Raphson-methode heeft het voordeel dat we hiermee de wortels van een vergelijking met een kleine mate zeer efficiënt en snel kunnen raden.
Vraag 3: Wat is het nadeel van de Newton Raphson-methode?
Antwoord:
Het nadeel van de Newton Raphson-methode is dat deze de neiging heeft erg complex te worden wanneer de graad van de polynoom erg groot wordt.
Vraag 4: Noem een praktijktoepassing van de methode van Newton Raphson.
Antwoord:
De Newton Raphson-methode wordt gebruikt om de waterstroom in waterdistributienetwerken in het echte leven te analyseren.
Vraag 5: Op welke theorie is de Newton-Raphson-methode gebaseerd?
Antwoord:
De Newton Raphson-methode is gebaseerd op de theorie van calculus en de raaklijn aan een curve.