De wet van de totale waarschijnlijkheid is belangrijk om de waarschijnlijkheid te bepalen dat een gebeurtenis plaatsvindt. Als bekend is dat de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis zal plaatsvinden 1 is, dan is deze voor een onmogelijke gebeurtenis waarschijnlijk 0. Een fundamentele regel in de waarschijnlijkheidstheorie die verband houdt met marginale waarschijnlijkheid en voorwaardelijke waarschijnlijkheid wordt de wet van de totale waarschijnlijkheid genoemd, of de totale waarschijnlijkheidsstelling.

Na verschillende gebeurtenissen is het bekend dat de waarschijnlijkheid van alle mogelijkheden bekend moet zijn. De stelling van de totale waarschijnlijkheid is de kern van de stelling van Baye. In dit artikel hebben we belangrijke concepten besproken die verband houden met de totale waarschijnlijkheid, inclusief de wet van de totale waarschijnlijkheid , verklaringen, bewijzen en enkele voorbeelden.

Wet van totale waarschijnlijkheid

Gegeven n elkaar uitsluitende gebeurtenissen A1, A2, ...Ak zodanig dat hun kansensom eenheid is en hun vereniging de gebeurtenisruimte E is, dan is Ai ∩ Aj = NULL, voor alles is I niet gelijk aan j, en

A1 U A2 U ... U Ak = E>

Dan de Totale waarschijnlijkheidsstelling, of wet van totale waarschijnlijkheid, is: waarbij B een willekeurige gebeurtenis is, en P(B/Ai) de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van B is, ervan uitgaande dat A al heeft plaatsgevonden.

Bewijs van totale waarschijnlijkheidsstelling

Laat A1, A2, …, Ak disjuncte gebeurtenissen zijn die een partitie van de monsterruimte vormen en neem aan dat P(Ai)> 0, voor i = 1, 2, 3….k, zodat:

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>

Dan hebben we voor elke gebeurtenis B:

B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>

Omdat kruising en Unie distributief zijn. Daarom,

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>

Omdat al deze partities onsamenhangend zijn. Dus we hebben,

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>

Dat is de optellingsstelling van waarschijnlijkheden voor een unie van onsamenhangende gebeurtenissen. Voorwaardelijke waarschijnlijkheid gebruiken

P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>

Of door de vermenigvuldigingsregel,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>

Hier wordt gezegd dat gebeurtenissen A en B onafhankelijke gebeurtenissen zijn als P(B|A) = P(B), waarbij P(A) niet gelijk is aan nul(0),

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>

waarbij P(B|A) de voorwaardelijke waarschijnlijkheid is die de waarschijnlijkheid geeft dat gebeurtenis B plaatsvindt wanneer gebeurtenis A al heeft plaatsgevonden. Vandaar,

css vetgedrukte tekst

P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>

Als we deze regel hierboven toepassen, krijgen we:

Dit is de wet van de totale waarschijnlijkheid . De wet van de totale waarschijnlijkheid wordt ook wel genoemd de totale waarschijnlijkheidsstelling of de wet van alternatieven.

Opmerking:

De wet van de totale waarschijnlijkheid wordt gebruikt als je de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis niet kent, maar wel het optreden ervan onder verschillende onsamenhangende scenario’s en de waarschijnlijkheid van elk scenario.

Toepassing van de stelling van de totale waarschijnlijkheid

Het wordt gebruikt voor de evaluatie van de noemer in De stelling van Bayes . De stelling van Bayes voor n reeks gebeurtenissen wordt gedefinieerd als:

c programmareeksarray

Laat E₁, EN₂,…, EN_Neen reeks gebeurtenissen zijn die verband houden met de voorbeeldruimte S, waarin alle gebeurtenissen E₁, EN₂,…, EN_Neen kans van optreden hebben die niet gelijk is aan nul. Alle evenementen E₁, EN₂,…, E vormt een partitie van S. Laat A een gebeurtenis uit ruimte S zijn waarvoor we de waarschijnlijkheid moeten vinden, dan geldt volgens de stelling van Bayes:

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

voor k = 1, 2, 3, …., n

Voorbeeld

1. We trekken twee kaarten uit een stapel geschudde kaarten met vervangingen. Bereken de kans dat de tweede kaart een koning wordt.

Uitleg:- Laat A – de gebeurtenis vertegenwoordigen waarbij de eerste kaart een koning wordt. B – vertegenwoordigt de gebeurtenis dat de eerste kaart geen koning is. E – vertegenwoordigt de gebeurtenis dat de tweede kaart een koning is. Dan wordt de kans dat de tweede kaart al dan niet een koning is, door de wet van de totale waarschijnlijkheid weergegeven als:

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>

Waar P(E) de kans is dat de tweede kaart een koning is, P(A) de kans is dat de eerste kaart een koning is, P(E|A) de kans is dat de tweede kaart een koning is, gegeven dat de eerste kaart is een koning, P(B) is de kans dat de eerste kaart geen koning is, P(E|B) is de kans dat de tweede kaart een koning is, maar de eerste getrokken kaart is geen koning. Volgens de vraag:

P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>

Daarom,

P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>

Veelgestelde vragen over de wet van totale waarschijnlijkheid

Vraag.1: Wat is het nut van totale waarschijnlijkheid?

Antwoord:

De wet van de totale waarschijnlijkheid wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te berekenen, gegeven een willekeurig aantal gerelateerde gebeurtenissen. De stelling van Baye gebruiken om de waarschijnlijkheid van een hypothese bij nieuw bewijsmateriaal bij te werken.

Vraag 2: Is de totale waarschijnlijkheid altijd 1?

Antwoord:

De som van de kansen van alle gebeurtenissen is altijd 1.

Vraag 3: Kan de totale waarschijnlijkheid groter zijn dan 1?

Antwoord:

Nee, de totale waarschijnlijkheid kan niet groter zijn dan 1.