Lokale Maxima en Minima verwijzen naar de punten van de functies, die het hoogste en laagste bereik van die functie definiëren. De afgeleide van de functie kan worden gebruikt om de Lokale Maxima en Lokale Minima te berekenen. De lokale maxima en minima kunnen worden gevonden door gebruik te maken van zowel de eerste afgeleide toets als de tweede afgeleide toets.

In dit artikel bespreken we de introductie, definitie en belangrijke terminologie van Lokale Maxima en Minima en de betekenis ervan. We zullen ook de verschillende methoden begrijpen om de lokale maxima en minima in de wiskunde te berekenen rekening . We zullen ook verschillende voorbeelden oplossen en oefenvragen geven voor een beter begrip van het concept van dit artikel.

Inhoudsopgave

• Wat zijn lokale maxima en lokale minima?
• Definitie van lokale maxima en lokale minima
• Termen met betrekking tot lokale maxima en lokale minima
• Hoe vind je lokale Maxima en Minima?
• Voorbeelden van Lokale Maxima en Lokale Minima

Wat zijn lokale maxima en lokale minima?

Lokale Maxima en Minima worden maximum- en minimumwaarden in een specifiek interval genoemd. Een lokaal maximum treedt op wanneer de waarden van a functie nabij een specifiek punt zijn altijd lager dan de waarden van de functie op hetzelfde punt. In het geval van Lokale Minima zijn de waarden van een functie nabij een specifiek punt altijd groter dan de waarden van de functie op hetzelfde punt.

In eenvoudige zin wordt een punt een lokaal maximum genoemd wanneer de functie de hoogste waarde in een specifiek interval bereikt, en een punt wordt een lokaal minimum genoemd wanneer de functie de laagste waarde in een specifiek interval bereikt.

Als je bijvoorbeeld naar een heuvelachtig gebied gaat en op de top van een heuvel staat, wordt dat punt een Lokaal Maxima-punt genoemd omdat je je op het hoogste punt in je omgeving bevindt. Op dezelfde manier wordt, als u op het laagste punt in een rivier of zee staat, dat punt een Lokaal Minima-punt genoemd, omdat u zich op het laagste punt in uw omgeving bevindt.

Definitie van lokale maxima en lokale minima

Lokale Maxima en Minima zijn de beginwaarden van elke functie om een ​​idee te krijgen van de grenzen ervan, zoals de hoogste en laagste uitvoerwaarden. Lokale Minima en Lokale Maxima worden ook wel Lokale Extrema genoemd.

Lokale Máxima

Een Lokaal Maxima-punt is een punt op een functie waar de functie binnen een bepaald interval zijn maximale waarde bereikt. Een punt (x = a) van een functie f (a) wordt een Lokaal maximum genoemd als de waarde van f(a) groter is dan of gelijk is aan alle waarden van f(x).

arrayreeks in c

Wiskundig gezien geldt f (a) ≥ f (a -h) en f (a) ≥ f (a + h) waarbij h> 0, dan wordt a het lokale maximumpunt genoemd.

Lokale minima

Een lokaal minimapunt is een punt op een functie waar de functie binnen een bepaald interval zijn minimumwaarde bereikt. Een punt (x = a) van een functie f (a) wordt een Lokaal minimum genoemd als de waarde van f(a) kleiner is dan of gelijk is aan alle waarden van f(x).

Wiskundig gezien geldt f (a) ≤ f (a -h) en f (a) ≤ f (a + h) waarbij h> 0, dan wordt a het lokale minimumpunt genoemd.

Termen met betrekking tot lokale maxima en lokale minima

Belangrijke terminologie met betrekking tot Lokale Maxima en Minima wordt hieronder besproken:

Maximale waarde

Als een functie de maximale uitvoerwaarde geeft voor de invoerwaarde van x. Die waarde van x wordt de maximale waarde genoemd. Als het binnen een specifiek bereik is gedefinieerd. Dan wordt dat punt genoemd Lokale Máxima .

Absoluut maximaal

Als een functie de maximale uitvoerwaarde geeft voor de invoerwaarde van x over het gehele bereik van de functie. Die waarde van x wordt Absoluut Maximaal genoemd.

Minimale waarde

Als een functie de minimale uitvoerwaarde geeft voor de invoerwaarde van x. Die waarde van x wordt de minimumwaarde genoemd. Als het binnen een specifiek bereik is gedefinieerd. Dan wordt dat punt genoemd Lokale minima .

Absoluut minimaal

Als een functie de minimale uitvoerwaarde geeft voor de invoerwaarde van x over het gehele bereik van de functie. Die waarde van x wordt het Absolute Minimum genoemd.

Punt van inversie

Als de waarde van x binnen het bereik van een bepaalde functie niet de hoogste en laagste output vertoont, wordt dit het inversiepunt genoemd.

Kom meer te weten, Absoluut Maxima en Minima

Hoe vind je lokale Maxima en Minima?

De Lokale Maxima en de Minima worden alleen voor een bepaald bereik bepaald, het is niet het maximum en minimum voor de gehele functie en gelden niet voor het gehele bereik van de functie.

Er zijn de volgende benaderingen om de lokale maxima en minima te berekenen. Dit zijn:

• In de eerste stap nemen we de afgeleide van de functie.

• In de tweede stap stellen we de afgeleide gelijk aan nul en berekenen we de kritische punten voor c.

• In de derde stap gebruiken we Eerste afgeleide En Tweede afgeleide test om de Lokale Maxima en Lokale Minima te bepalen.

Wat is de eerste afgeleide test?

Ten eerste nemen we de eerste afgeleide van een functie die de helling van de functie geeft. Naarmate we dichter bij een maximumpunt komen, neemt de helling van de functie toe, wordt vervolgens nul op het maximumpunt, en neemt daarna af naarmate we er vanaf gaan.

Hetzelfde geldt voor het minimumpunt, naarmate we dichter bij een minimumpunt komen, neemt de helling van de curve af, wordt vervolgens nul op het minimumpunt, en neemt daarna toe naarmate we van dat punt weggaan.

Laten we een functie f(x) nemen, die continu is op het kritische punt c, in een open interval I, en f'(c) = 0, betekent helling op kritisch punt c = 0.

Om de aard van f'(x) rond het kritieke punt c te controleren, hebben we de volgende voorwaarden om de waarde van het lokale maximum en minimum uit de eerste afgeleide test te bepalen. Deze voorwaarden zijn:

• Als f ′(x) van teken verandert van positief naar negatief naarmate x toeneemt via c, dan toont f(c) de hoogste waarde van die functie in het gegeven bereik. Punt c is dus een lokaal maximapunt, als de eerste afgeleide f ‘(x)> 0 op elk punt voldoende dichtbij links van c en f ‘(x) <0 op elk punt voldoende dichtbij rechts van c.

• Als f ′(x) van teken verandert van negatief naar positief naarmate x toeneemt via c, dan toont f(c) de laagste waarde van die functie in het gegeven bereik. Daarom is punt c een lokaal minimapunt, als de eerste afgeleide f ‘(x) 0 op elk punt voldoende dicht bij de rechterkant van c ligt.

• Als f'(x) het teken niet significant verandert terwijl x toeneemt via c, dan toont punt c niet de hoogste (lokale maxima) en laagste (lokale minima) waarde van de functie. In dat geval is punt c punt van buiging genoemd.

Lees meer over Eerste afgeleide test .

Wat is de tweede afgeleide test?

De tweede afgeleide test wordt gebruikt om de waarde van het absolute maximum en absolute minimum van elke functie binnen een specifiek interval te achterhalen. Laten we een functie f(x) nemen, die continu is op het kritieke punt c, in een open interval I, en f'(c) = 0, betekent helling op het kritieke punt c = 0. Hier nemen we de tweede afgeleide f (x) van de functie f(x) die de helling van de functie geeft.

Om de aard van f'(x) te controleren, hebben we de volgende voorwaarden om de waarde van het lokale maximum en minimum uit de tweede afgeleide test te bepalen. Deze voorwaarden zijn:

• Punt c is een Lokaal Maxima-punt, als de eerste afgeleide f'(c) = 0, en de tweede afgeleide f(c) <0. Het punt op x= c zal de lokale maxima zijn en f(c) zal de lokale maximale waarde van f(x) zijn.

• Punt c is een lokaal minimapunt, als de eerste afgeleide f'(c) = 0, en f(c) de tweede afgeleide> 0. Het punt op x= c zal de lokale minima zijn en f(c) de Lokale minimumwaarde van f(x).

• De test mislukt, als de eerste afgeleide f'(c) = 0, en de tweede afgeleide f(c) = 0, dan toont het punt c niet de hoogste (lokale maxima) en laagste (lokale minima) waarde van de functie In dat geval wordt punt c het buigpunt genoemd en het punt x = c het Punt van buiging.

Controleer ook

• Toepassing van derivaten
• Relatieve Maxima en Minima
• Differentiatie- en integratieformule

Voorbeelden van Lokale Maxima en Lokale Minima

Voorbeeld 1: Analyseer de lokale maxima en lokale minima van de functie f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 met behulp van de eerste afgeleide test.

Oplossing:

Gegeven functie is f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

De eerste afgeleide van de functie is f'(x) = 6x²– 6x – 12, het zal gebruiken om de kritieke punten te achterhalen.

Om het kritieke punt te vinden, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Daarom zijn de kritische punten x = -1 en x = 2.

Analyseer het eerste afgeleide onmiddellijke punt naar het kritieke punt x = -1. De punten zijn {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 en f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Het teken van de afgeleide is positief naar links van x = -1, en is negatief naar rechts. Het geeft dus aan dat x = -1 de lokale maxima is.

Laten we nu het eerste afgeleide onmiddellijke punt naar het kritieke punt x = 2 analyseren. De punten zijn {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 en f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

arraylengte java

Het teken van de afgeleide is negatief naar links van x = 2, en is positief naar rechts. Het geeft dus aan dat x = 2 de lokale minima zijn.

Daarom is de lokale maxima -1 en de lokale minima 2.

Voorbeeld 2: Analyseer de lokale maxima en lokale minima van de functie f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 met behulp van de tweede afgeleide test.

Oplossing:

Gegeven functie is f(x) = -x³+6x²-12x +10

De eerste afgeleide van de functie is f'(x) = -x³+6x²-12x +10, zal het gebruiken om de kritieke punten te achterhalen.

Om het kritieke punt te vinden, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

X²– 4x + 3 = 0

Java-prioriteitwachtrij

(x – 1)(x – 3) = 0

Daarom zijn de kritische punten x = 1 en x = 3

Neem nu een tweede afgeleide van de functie,

f(x) = 6x – 12

Evalueer f(x) op het kritieke punt x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, en daarom komt x = 1 overeen met lokale maxima.

Evalueer f(x) op het kritieke punt x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, en daarom komt x = 3 overeen met lokale minima.

Nu zullen we de functiewaarden op de kritieke punten berekenen:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, daarom ligt het lokale maximum op (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, daarom ligt het lokale maximum op (3, 1)

Oefenvragen over lokale minima en maxima

Q1. Vind lokale maxima en lokale minima van de functie f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 met behulp van de tweede afgeleide test.

Vraag 2. Zoek en analyseer de lokale maxima en lokale minima van de functie f(x) = – x²+4x -5 door gebruik te maken van de tweede afgeleide test.

Q3. Vind lokale maxima en lokale minima van de functie f(x) = x²-4x +5 met behulp van de eerste afgeleide test.

Q4. Zoek en analyseer de lokale maxima en lokale minima van de functie f(x) = 3x²-12x +5 met behulp van de eerste afgeleide test.

Vraag 5. Zoek en analyseer de lokale maxima en lokale minima van de functie f(x) = x³– 6x²+9x + 15 door gebruik te maken van de eerste afgeleide test.

Vraag 6. Zoek en analyseer de lokale maxima en lokale minima van de functie f(x) = 2x³-9x²+12x +5 door gebruik te maken van de tweede afgeleide test.

Lokale Maxima en Lokale Minima – Veelgestelde vragen

Wat is Lokaal Maxima?

Een punt wordt een lokale maxima genoemd wanneer de functie binnen een bepaald interval de hoogste waarde bereikt.

Hoe kun je het lokale maximum vinden?

Door de functie te differentiëren en de kritische waarde te vinden waarbij de helling nul is, kunnen we het lokale maximum vinden.

Wat zijn lokale minima?

Een punt wordt een lokale minima genoemd wanneer de functie binnen een bepaald interval de laagste waarde bereikt.

Welke methoden kun je gebruiken om de Lokale Maxima en Lokale Minima te berekenen?

Eerste afgeleide test en tweede afgeleide test.

Wat is het verschil tussen de eerste afgeleide test en de tweede afgeleide test?

De eerste afgeleide test is de methode bij benadering om de waarde van lLcal maxima en lokale minima te berekenen. De tweede afgeleide test is de systematische en nauwkeurige methode om de waarde van lokale maxima en lokale minima te berekenen.

Wat is de betekenis van Inversiepunt?

Als de waarde van een punt binnen het bereik van een bepaalde functie niet de hoogste en laagste output weergeeft, wordt dat punt het inversiepunt genoemd.

Wat is het nut van lokale maxima en lokale minima?

Om de extreme waarde van een functie binnen een bepaald bereik te achterhalen.