Bij de vereenvoudiging van de Booleaanse uitdrukking spelen de wetten en regels van de Booleaanse algebra een belangrijke rol. Voordat u deze wetten en regels van de Booleaanse algebra begrijpt, moet u het concept van optellen en vermenigvuldigen met Booleaanse bewerkingen begrijpen.

Booleaanse toevoeging

De optelbewerking van de Booleaanse algebra is vergelijkbaar met de OR-bewerking. In digitale circuits wordt de OR-bewerking gebruikt om de somterm te berekenen, zonder gebruik te maken van de AND-bewerking. A + B, A + B', A + B + C' en A' + B + + D' zijn enkele voorbeelden van 'somtermen'. De waarde van de somterm is waar als een of meer letterlijke waarden waar zijn, en onwaar als alle letterlijke waarden onwaar zijn.

Booleaanse vermenigvuldiging

De vermenigvuldigingsbewerking van de Booleaanse algebra is vergelijkbaar met de AND-bewerking. In digitale circuits berekent de AND-bewerking het product, zonder gebruik te maken van de OR-bewerking. AB, AB, ABC en ABCD zijn enkele voorbeelden van de productterm. De waarde van de productterm is waar als alle letterlijke waarden waar zijn, en onwaar als een van de letterlijke waarden onwaar is.

Wetten van de Booleaanse algebra

Er zijn de volgende wetten van de Booleaanse algebra:

Commutatieve wet

Deze wet stelt dat het niet uitmaakt in welke volgorde we de variabelen gebruiken. Het betekent dat de volgorde van de variabelen er niet toe doet. In de Booleaanse algebra zijn de OR- en de optelbewerkingen vergelijkbaar. In het onderstaande diagram geeft de OF-poort aan dat de volgorde van de invoervariabelen er helemaal niet toe doet.

min. max

Voor twee variabelen wordt de commutatieve optelwet geschreven als:

Voor twee variabelen wordt de commutatieve vermenigvuldigingswet geschreven als:

Associatief recht

Deze wet stelt dat de bewerking in elke volgorde kan worden uitgevoerd als de prioriteit van de variabelen hetzelfde is. Omdat '*' en '/' dezelfde prioriteit hebben. In het onderstaande diagram wordt de associatieve wet toegepast op de OF-poort met 2 ingangen.

Voor drie variabelen wordt de associatieve optelwet geschreven als:

panda smelt

Voor drie variabelen wordt de associatieve wet van vermenigvuldiging geschreven als:

Volgens deze wet maakt het niet uit in welke volgorde de variabelen worden gegroepeerd als er meer dan twee variabelen met AND worden gecombineerd. In het onderstaande diagram wordt de associatieve wet toegepast op EN-poort met 2 ingangen.

hoofdmethode java

Distributieve wet:

Volgens deze wet zal, als we de OR-bewerking van twee of meer variabelen uitvoeren en vervolgens de AND-bewerking van het resultaat met een enkele variabele uitvoeren, het resultaat vergelijkbaar zijn met het uitvoeren van de EN-bewerking van die enkele variabele met elke twee of meer variabelen. variabele en voer vervolgens de OR-bewerking van dat product uit. Deze wet legt het proces van factoring uit.

Voor drie variabelen wordt de distributieve wet geschreven als:

Regels van de Booleaanse algebra

Er zijn de volgende regels van de Booleaanse algebra, die meestal worden gebruikt bij het manipuleren en vereenvoudigen van Booleaanse uitdrukkingen. Deze regels spelen een belangrijke rol bij het vereenvoudigen van Booleaanse expressies.

Regel 1: A + 0 = A

Laten we veronderstellen; we hebben een invoervariabele A waarvan de waarde 0 of 1 is. Wanneer we de OR-bewerking met 0 uitvoeren, zal het resultaat hetzelfde zijn als de invoervariabele. Dus als de variabele waarde 1 is, dan is het resultaat 1, en als de variabele waarde 0 is, dan is het resultaat 0. Schematisch kan deze regel als volgt worden gedefinieerd:

Regel 2: (A + 1) = 1

Laten we veronderstellen; we hebben een invoervariabele A waarvan de waarde 0 of 1 is. Wanneer we de OR-bewerking met 1 uitvoeren, zal het resultaat altijd 1 zijn. Dus als de variabelewaarde 1 of 0 is, dan zal het resultaat altijd 1 zijn. Schematisch gezien , kan deze regel worden gedefinieerd als:

Regel 3: (A.0) = 0

Laten we veronderstellen; we hebben een invoervariabele A waarvan de waarde 0 of 1 is. Wanneer we de AND-bewerking met 0 uitvoeren, zal het resultaat altijd 0 zijn. Deze regel stelt dat een invoervariabele met AND met 0 altijd gelijk is aan 0. Schematisch kan deze regel als volgt worden gedefinieerd:

reageer inline-stijl

Regel 4: (A.1) = A

Laten we veronderstellen; we hebben een invoervariabele A waarvan de waarde 0 of 1 is. Wanneer we de AND-bewerking met 1 uitvoeren, is het resultaat altijd gelijk aan de invoervariabele. Deze regel stelt dat een invoervariabele met AND met 1 altijd gelijk is aan de invoervariabele. Schematisch kan deze regel als volgt worden gedefinieerd:

Regel 5: (A + A) = A

Laten we veronderstellen; we hebben een invoervariabele A waarvan de waarde 0 of 1 is. Wanneer we de OR-bewerking met dezelfde variabele uitvoeren, is het resultaat altijd gelijk aan de invoervariabele. Deze regel stelt dat een invoervariabele ORed met zichzelf altijd gelijk is aan de invoervariabele. Schematisch kan deze regel als volgt worden gedefinieerd:

Regel 6: (A + A') = 1

Laten we veronderstellen; we hebben een invoervariabele A waarvan de waarde 0 of 1 is. Wanneer we de OR-bewerking uitvoeren met het complement van die variabele, zal het resultaat altijd gelijk zijn aan 1. Deze regel stelt dat een variabele ORed met zijn complement gelijk is aan 1 altijd. Schematisch kan deze regel als volgt worden gedefinieerd:

Regel 7: (A.A) = A

Laten we veronderstellen; we hebben een invoervariabele A waarvan de waarde 0 of 1 is. Wanneer we de AND-bewerking met dezelfde variabele uitvoeren, zal het resultaat altijd alleen aan die variabele gelijk zijn. Deze regel stelt dat een variabele die met zichzelf AND is, altijd gelijk is aan de invoervariabele. Schematisch kan deze regel als volgt worden gedefinieerd:

algemene beschermingsfout

Regel 8: (A.A') = 0

Laten we veronderstellen; we hebben een invoervariabele A waarvan de waarde 0 of 1 is. Wanneer we de AND-bewerking uitvoeren met het complement van die variabele, zal het resultaat altijd gelijk zijn aan 0. Deze regel stelt dat een variabele ANDed met zijn complement gelijk is aan 0 altijd. Schematisch kan deze regel als volgt worden gedefinieerd:

Regel 9: A = (A')'

Deze regel stelt dat als we het dubbele complement van de variabele uitvoeren, het resultaat hetzelfde zal zijn als de oorspronkelijke variabele. Dus als we het complement van variabele A uitvoeren, is het resultaat A'. Als we verder het complement van A' opnieuw uitvoeren, krijgen we A, dat is de oorspronkelijke variabele.

Regel 10: (A + AB) = A

We kunnen deze regel bewijzen door regel 2, regel 4 en de distributieve wet als volgt te gebruiken:

Regel 11: A + AB = A + B

We kunnen deze regel bewijzen door de bovenstaande regels te gebruiken als:

Regel 12: (A + B)(A + C) = A + BC

We kunnen deze regel bewijzen door de bovenstaande regels te gebruiken als: