Stel dat er twee samengestelde uitspraken zijn, X en Y, die bekend staan als logische equivalentie als en slechts als de waarheidstabel van beide dezelfde waarheidswaarden in hun kolommen bevat. Met behulp van symbool = of ⇔ kunnen we de logische gelijkwaardigheid weergeven. Dus X = Y of X ⇔ Y zal de logische equivalentie van deze uitspraken zijn.
Met behulp van de logische equivalentiedefinitie hebben we duidelijk gemaakt dat als de samengestelde uitspraken X en Y logische equivalentie zijn, in dit geval de X ⇔ Y tautologie moet zijn.
Wetten van logische gelijkwaardigheid
In deze wet zullen we de 'AND'- en 'OR'-symbolen gebruiken om de wet van logische gelijkwaardigheid uit te leggen. Hier wordt AND aangegeven met behulp van het ∧-symbool en OR wordt aangegeven met behulp van het ∨-symbool. Er zijn verschillende wetten van logische gelijkwaardigheid, die als volgt worden beschreven:
Idempotente wet:
In de idempotente wet gebruiken we slechts één enkele verklaring. Volgens deze wet zal, als we twee dezelfde uitspraken combineren met het symbool ∧(en) en ∨(of), de resulterende uitspraak de uitspraak zelf zijn. Stel dat er een samengestelde verklaring P is. De volgende notatie wordt gebruikt om de idempotente wet aan te geven:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
De waarheidstabel voor deze wet wordt als volgt beschreven:
| P | P | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen P, P ∨ P en P ∧ P.
Daarom kunnen we zeggen dat P ∨ P = P en P ∧ P = P.
Commutatieve wetten:
De twee uitspraken worden gebruikt om de commutatieve wet te tonen. Volgens deze wet zal, als we twee uitspraken combineren met het symbool ∧(en) of ∨(of), de resulterende uitspraak hetzelfde zijn, zelfs als we de positie van de uitspraken veranderen. Stel dat er twee uitspraken zijn, P en Q. De propositie van deze uitspraken zal onwaar zijn als beide uitspraken P en Q onwaar zijn. In alle andere gevallen zal het waar zijn. De volgende notatie wordt gebruikt om de commutatieve wet aan te geven:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
De waarheidstabel voor deze notaties wordt als volgt beschreven:
| P | Q | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen P ∨ Q en Q ∨ P.
Daarom kunnen we zeggen dat P ∨ Q ? Q ∨ P.
Hetzelfde als we kunnen bewijzen P ∧ Q ? Q ∧ P.
Associatief recht:
De drie uitspraken worden gebruikt om de associatieve wet weer te geven. Volgens deze wet zal, als we drie uitspraken combineren met behulp van haakjes met het symbool ∧(en) of ∨(of), de resulterende uitspraak hetzelfde zijn, zelfs als we de volgorde van de haakjes veranderen. Dat betekent dat deze wet onafhankelijk is van groepering of associatie. Stel dat er drie uitspraken P, Q en R zijn. De propositie van deze uitspraken zal onwaar zijn als P, Q en R onwaar zijn. In alle andere gevallen zal het waar zijn. De volgende notatie wordt gebruikt om de associatieve wet aan te geven:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
De waarheidstabel voor deze notaties wordt als volgt beschreven:
| P | Q | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen P ∨ (Q ∨ R) en (P ∨ Q) ∨ R.
Daarom kunnen we zeggen dat P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
Hetzelfde als we kunnen bewijzen P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Distributieve wet:
De drie uitspraken worden gebruikt om de distributieve wet te tonen. Volgens deze wet zal, als we een uitspraak met het ∨(OR)-symbool combineren met de twee andere uitspraken die zijn samengevoegd met het symbool ∧(AND), de resulterende uitspraak hetzelfde zijn, zelfs als we de uitspraken afzonderlijk combineren met het symbool ∨(OR) en het combineren van de samengevoegde uitspraken met ∧(AND). Stel dat er drie uitspraken P, Q en R zijn. De volgende notatie wordt gebruikt om de distributieve wet aan te geven:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
De waarheidstabel voor deze notaties wordt als volgt beschreven:
| P | Q | R | Q ∧ R | P∨(Q∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen P ∨ (Q ∧ R) en (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Daarom kunnen we zeggen dat P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Hetzelfde als we kunnen bewijzen P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Identiteitsrecht:
Er wordt gebruik gemaakt van een enkele verklaring om de identiteitswet aan te tonen. Volgens deze wet zal het, als we een statement en een True-waarde combineren met het symbool ∨(or), de True-waarde genereren. Als we een statement en een False-waarde combineren met het symbool ∧(en), dan zal het de statement zelf genereren. Op dezelfde manier zullen we dit doen met de tegenovergestelde symbolen. Dat betekent dat als we een statement en een True-waarde combineren met het symbool ∧(and), het de statement zelf zal genereren, en als we een statement en een False-waarde combineren met het symbool ∨(or), dan zal het de statement genereren. Valse waarde. Stel dat er een samengestelde bewering P is, een echte waarde T en een valse waarde F. De volgende notatie wordt gebruikt om de identiteitswet aan te geven:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
De waarheidstabel voor deze notaties wordt als volgt beschreven:
| P | T | F | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen P ∨ T en T. We kunnen dus zeggen dat P ∨ T = T. Op dezelfde manier bevat deze tabel ook dezelfde waarheidswaarden in de kolommen P ∨ F en P. Daarom we kunnen zeggen dat P ∨ F = P.
Hetzelfde als we kunnen bewijzen P ∧ T ? P en P ∧ F ? F
Aanvulling wet:
In de complementwet wordt een enkele verklaring gebruikt. Volgens deze wet zal het, als we een uitspraak combineren met de bijbehorende complementverklaring met het symbool ∨(or), de waarde True genereren, en als we deze uitspraken combineren met het symbool ∧(en), dan zal het de waarde False genereren. waarde. Als we een echte waarde ontkennen, genereert deze een valse waarde, en als we een valse waarde ontkennen, genereert deze de echte waarde.
De volgende notatie wordt gebruikt om de complementwet aan te geven:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
De waarheidstabel voor deze notaties wordt als volgt beschreven:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen van P ∨ ¬P en T. We kunnen dus zeggen dat P ∨ ¬P = T. Op dezelfde manier bevat deze tabel ook dezelfde waarheidswaarden in de kolommen van P ∧ ¬P en F. Daarom kunnen we zeggen dat P ∧ ¬P = F.
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen ¬T en F. Daarom kunnen we zeggen dat ¬T = F. Op dezelfde manier bevat deze tabel dezelfde waarheidswaarden in de kolommen ¬F en T. Daarom kunnen we zeggen dat ¬F = T.
Dubbele ontkenningswet of involutiewet
Er wordt een enkele verklaring gebruikt om de dubbele ontkenningswet weer te geven. Volgens deze wet zal, als we de ontkenning van een ontkende verklaring uitvoeren, de resulterende verklaring de verklaring zelf zijn. Stel dat er een bewering P is en een ontkenningsverklaring ¬P. De volgende notatie wordt gebruikt om de dubbele ontkenningswet aan te duiden:
¬(¬P) ? P
De waarheidstabel voor deze notaties wordt als volgt beschreven:
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen ¬(¬P) en P. Daarom kunnen we zeggen dat ¬(¬P) = P.
Uit de wet van Morgan:
De twee uitspraken worden gebruikt om de wet van De Morgan aan te tonen. Volgens deze wet zal, als we twee uitspraken combineren met het symbool ∧(AND) en vervolgens de ontkenning van deze gecombineerde uitspraken doen, de resulterende uitspraak hetzelfde zijn, zelfs als we de ontkenning van beide uitspraken afzonderlijk combineren met het symbool ∨( OF). Stel dat er twee samengestelde uitspraken zijn, P en Q. De volgende notatie wordt gebruikt om de wet van De Morgan aan te duiden:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
De waarheidstabel voor deze notaties wordt als volgt beschreven:
| P | Q | ¬P | ¬V | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen ¬(P ∧ Q) en ¬ P ∨ ¬Q. Daarom kunnen we zeggen dat ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Hetzelfde als we kunnen bewijzen ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Absorptiewet:
De twee uitspraken worden gebruikt om de absorptiewet weer te geven. Als we volgens deze wet een uitspraak P met ∨(OR)-symbool combineren met dezelfde uitspraak P en een andere uitspraak Q, die zijn samengevoegd met het symbool ∧(AND), dan zal de resulterende uitspraak de eerste uitspraak P zijn. Hetzelfde resultaat wordt gegenereerd als we de symbolen omwisselen. Stel dat er twee samengestelde uitspraken zijn, P en Q. De volgende notatie wordt gebruikt om de absorptiewet aan te geven:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
De waarheidstabel voor deze notaties wordt als volgt beschreven:
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen P ∨ (P ∧ Q) en P. We kunnen dus zeggen dat P ∨ (P ∧ Q) ? P.
Op dezelfde manier bevat deze tabel ook dezelfde waarheidswaarden in de kolommen van P ∧ (P ∨ Q) en P. We kunnen dus zeggen dat P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Voorbeelden van logische gelijkwaardigheid
Er zijn verschillende voorbeelden van logische gelijkwaardigheid. Sommigen van hen worden als volgt beschreven:
Voorbeeld 1: In dit voorbeeld zullen we de equivalentie-eigenschap voor een instructie vaststellen, die als volgt wordt beschreven:
p → q ? ¬p ∨ q
Oplossing:
We zullen dit bewijzen met behulp van een waarheidstabel, die als volgt wordt beschreven:
| P | Q | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen p → q en ¬p ∨ q. Daarom kunnen we zeggen dat p → q ? ¬p ∨ q.
Voorbeeld 2: In dit voorbeeld zullen we de equivalentie-eigenschap voor een instructie vaststellen, die als volgt wordt beschreven:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Oplossing:
| P | Q | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Deze tabel bevat dezelfde waarheidswaarden in de kolommen P ↔ Q en (P → Q) ∧ (Q → P). Daarom kunnen we zeggen dat P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Voorbeeld 3: In dit voorbeeld gebruiken we de equivalente eigenschap om de volgende bewering te bewijzen:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Oplossing:
Om dit te bewijzen, zullen we enkele van de hierboven beschreven wetten gebruiken en uit deze wet hebben we:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Nu zullen we de commutatieve wet in de bovenstaande vergelijking gebruiken en het volgende verkrijgen:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Nu zullen we de distributieve wet in deze vergelijking gebruiken en het volgende verkrijgen:
algoritme diepte eerste zoekopdracht
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Nu zullen we de distributieve wet in deze vergelijking gebruiken en het volgende verkrijgen:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Nu zullen we de complementwet in deze vergelijking gebruiken en het volgende verkrijgen:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Nu zullen we de identiteitswet gebruiken en het volgende krijgen:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Nu zullen we de commutatieve wet in deze vergelijking gebruiken en het volgende verkrijgen:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Ten slotte wordt vergelijking (1) het volgende:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Ten slotte kunnen we zeggen dat de vergelijking (1) p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)