logo

TechCodeview

Inverse trigonometrische identiteiten

Inverse trigonometrische identiteiten: In de wiskunde worden inverse trigonometrische functies ook wel arcusfuncties of anti-trigonometrische functies genoemd. De inverse trigonometrische functies zijn de inverse functies van basistrigonometrische functies, dwz sinus, cosinus, tangens, cosecans, secans en cotangens. Het wordt gebruikt om de hoeken te vinden met elke trigonometrische verhouding. Inverse trigonometrische functies worden over het algemeen gebruikt in velden als geometrie, techniek, enz. De weergave van inverse trigonometrische functies is:

Als a = f(b), dan is de inverse functie



b = f-1(A)

gimp opslaan als jpeg

Voorbeelden van inverse inverse trigonometrische functies zijn sin-1x, co-1x, dus-1x, enz.

Inhoudsopgave



Domein en bereik van inverse trigonometrische identiteiten

De volgende tabel toont enkele trigonometrische functies met hun domein en bereik.

Functie Domein Bereik
y = zonder-1X[-elf][-p/2, p/2]
y = cos-1X[-elf][0, p]
y = cosec-1X R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sec-1X R - (-elf)[0, π] – {π/2}
y = dus-1X R (-p/2, p/2)
y = kinderbedje-1X R (0, p)

Eigenschappen van inverse trigonometrische functies

Hieronder volgen de eigenschappen van inverse trigonometrische functies:

Eigenschap 1:



  1. zonder-1(1/x) = cosec-1x, voor x ≥ 1 of x ≤ -1
  2. want-1(1/x) = sec-1x, voor x ≥ 1 of x ≤ -1
  3. Dus-1(1/x) = kinderbed-1x, voor x> 0

Eigenschap 2:

  1. zonder-1(-x) = -zonde-1x, voor x ∈ [-1, 1]
  2. Dus-1(-x) = -bruin-1x, voor x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, voor |x| ≥ 1

Eigenschap 3

  1. want-1(-x) = π – cos-1x, voor x ∈ [-1, 1]
  2. sec-1(-x) = π – sec-1x, voor |x| ≥ 1
  3. kinderbed-1(-x) = π – kinderbed-1x, voor x ∈ R

Eigenschap 4

  1. zonder-1x + cos-1x = π/2, voor x ∈ [-1,1]
  2. Dus-1x + kinderbed-1x = π/2, voor x ∈ R
  3. cosec-1x + sec-1x = π/2 , voor |x| ≥ 1

Eigendom 5

  1. Dus-1x+zo-1y = dus-1( x + y )/(1 – xy), voor xy <1
  2. Dus-1x-zo-1y = dus-1(x – y)/(1 + xy), voor xy> -1
  3. Dus-1x+zo-1y = π + bruinen-1(x + y)/(1 – xy), voor xy>1; x, y>0

Eigendom 6

  1. 2bruin-1x = zonde-1(2x)/(1 +x2), voor |x| ≤ 1
  2. 2bruin-1x = cos-1(1 – x2)/(1 +x2), voor x ≥ 0
  3. 2bruin-1x = dus-1(2x)/(1 – x2), voor 1

Identiteiten van inverse trigonometrische functie

Hieronder volgen de identiteiten van inverse trigonometrische functies:

  1. zonder-1(zonde x) = x mits -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. want-1(cos x) = x mits 0 ≤ x ≤ π
  3. Dus-1(tan x) = x mits -π/2
  4. zonder (zonder-1x) = x mits -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos (cos-1x) = x mits -1 ≤ x ≤ 1
  6. middelmatig-1x) = x mits x ∈ R
  7. cosec(cosec-1x) = x mits -1 ≤ x ≤ ∞ of -∞
  8. sec(sec-1x) = x mits 1 ≤ x ≤ ∞ of -∞
  9. kinderbedje (kinderbed-1x) = x mits -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2zonde-1x = zonde-12x√(1 – x2)
  15. 3zonde-1x = zonde-1(3x – 4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3– 3x)
  17. 3bruin-1x = dus-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. zonder-1x + zonde-1y = zonder-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. zonder-1x – zonde-1y = zonder-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. want-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – en2)}]
  21. want-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – en2)}
  22. Dus-1x+zo-1y = dus-1(x + y/1 – xy)
  23. Dus-1x-zo-1y = dus-1(x – y/1 + xy)
  24. Dus-1x+zo-1en +bruin-1z = zo-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Mensen bekijken ook:

Voorbeeldproblemen met inverse trigonometrische identiteiten

Vraag 1: Probeer het zonder -1 x = sec -1 1/√(1-x 2 )

Oplossing:

Laat zonder-1x = y

⇒ sin y = x , (aangezien sin y = loodrecht/hypotenusa ⇒ cos y = √(1- loodrecht2)/hypotenusa )

⇒ cos y = √(1 – x2), hier hypotenusa = 1

⇒ sec y = 1/cos y

⇒ sec y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sec-11/√(1 – x2)

⇒ zonder-1x = sec-11/√(1 – x2)

Bewezen dus.

Vraag 2: Probeer het eens -1 x = cosec -1 √(1 +x 2 )/X

Oplossing:

Laat het zo zijn-1x = y

⇒ tan y = x, loodrecht = x en basis = 1

⇒ zonde y = x/√(x2+ 1) , (aangezien hypotenusa = √(loodrecht2+ basis2))

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = cosec-1√(x2+ 1)/x

⇒ dus-1x = cosec-1√(x2+ 1)/x

Bewezen dus.

Vraag 3: Evalueer jezelf als -1 X)

Oplossing:

Laat cos-1x = y

⇒ cos y = x , basis = x en hypotenusa = 1 dus sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ bruin y = √(1 – x2)/X

⇒ y = dus-1√(1 – x2)/X

⇒ cos-1x = dus-1√(1 – x2)/X

Daarom tan(cos-1x) = bruin(bruin-1√(1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/X.

Vraag 4: dus -1 √(zonde x) + kinderbed -1 √(zonde x) = y. Zoek cos en.

Oplossing:

Dat bruin kennen we-1x + kinderbed-1x = /2 door deze identiteit te vergelijken met de vergelijking gegeven in de vraag krijgen we y = π/2

Dus cos y = cos π/2 = 0.

Vraag 5: dus -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)bruin -1 x, x> 0. Los op voor x.

Oplossing:

Dus-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)bruin-1X

⇒ 2bruin-1(1 – x)/(1 + x) = bruin-1x...(1)

Dat weten we, 2tan-1x = dus-12x/(1 – x2).

Daarom kan LHS van vergelijking (1) worden geschreven als

Dus-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= dus-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= dus-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= dus-1(1 – x2)/(2x)

Aangezien LHS = RHS dus

Dus-1(1 – x2)/(2x) = bruin-1X

⇒ (1 – x2)/2x=x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Omdat x groter moet zijn dan 0, is x = 1/√3 het acceptabele antwoord.

Vraag 6: Probeer het eens -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Oplossing:

Laat het zo zijn-1√x = y

⇒ bruin y = √x

⇒ dus2y = x

Daarom,

RHS = (1/2)cos-1(1-zo2y)/(1 + bruin2En)

= (1/2)cos-1(co2en zonder2y)/(cos2en + zonder2En)

= (1/2)cos-1(co2en zonder2En)

= (1/2)cos-1(vanaf 2 jaar)

= (1/2)(2j)

= en

= dus-1√x

= LHS

Bewezen dus.

Vraag 7: dus -1 (2x)/(1 – x 2 ) + kinderbed -1 (1 – x 2 )/(2x) = π/2, -1

Oplossingen:

Dus-1(2x)/(1 – x2) + kinderbed-1(1 – x2)/(2x) = π/2

⇒ dus-1(2x)/(1 – x2) + zo-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2bruin-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ dus-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = bruin ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 of x = -1 – √2

Maar volgens de vraag x ∈ (-1, 1) is de oplossingsset voor de gegeven vergelijking dus x ∈ ∅.

Vraag 8: dus -1 1/(1 + 1,2) + bruin -1 1/(1 + 2,3) + … + Dus -1 1/(1 + n(n + 1)) = bruin -1 X. Los op voor X.

Oplossing:

Dus-11/(1 + 1,2) + bruin-11/(1 + 2,3) + … + bruin-11/(1 + n(n + 1)) = bruin-1X

⇒ dus-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + bruin-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + zo-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = bruin-1X

⇒ (dus-12 – zo-11) + (dus-13 – zo-12) + … + (dus-1(n + 1) – dus-1n) = dus-1X

⇒ dus-1(n + 1) – dus-11 = zo-1X

⇒ dus-1n/(1 + (n + 1).1) = bruin-1X

⇒ dus-1n/(n + 2) = bruin-1X

⇒ x = n/(n + 2)

Vraag 9: Indien 2tan -1 (zonder x) = zo -1 (2sec x) en los vervolgens x op.

Oplossing:

2bruin-1(zonder x) = zo-1(2secx)

⇒ dus-1(2zonde x)/(1 – zonde2x) = dus-1(2/cos x)

⇒ (2sinx)/(1 – zonde2x) = 2/cos x

⇒ zonde x/cos2x = 1/cos x

⇒ zonde x cos x = cos2X

⇒ zonde x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 of sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 of tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 of x = π/4

Maar bij x = π/2 bestaat de gegeven vergelijking niet, dus x = π/4 is de enige oplossing.

Vraag 10: Bewijs dat kinderbedje -1 [ {√(1 + zonde x) + √(1 – zonde x)}/{√(1 + zonde x) – √(1 – zonde x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Oplossing:

Stel daarom x = 2y

LHS = kinderbedje-1[{√(1+zonde 2 jaar) + √(1-zonde 2 jaar)}/{√(1+zonde 2 jaar) – √(1-zonde 2 jaar)}]

= kinderbed-1[{√(cos2en + zonder2y + 2sin y cos y) + √(cos2en + zonder2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2en + zonder2y + 2sin y cos y) – √(cos2en + zonder2y – 2sin en cos y)} ]

= kinderbed-1[{√(want y + zonde y)2+ √(cos y – zonde y)2} / {√(cos y + zonde y)2– √(cos en – zonde en)2}]

= kinderbed-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= kinderbed-1(2cos y)/(2sin y)

= kinderbed-1(kinderbedje en)

= en

=x/2.

Oefenproblemen met inverse trigonometrische identiteiten

Probleem 1: Los x op in de vergelijking sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Probleem 2: Bewijs dat bruinen -1 (1) + zo -1 (2) + zo -1 (3) = blz

Probleem 3: Evalueer cos⁡(zonder -1 (0,5))

Probleem 4: Indien bruin -1 (x) + bruin -1 (2x) = π/4, zoek dan x

Veelgestelde vragen over inverse trigonometrische identiteiten

Wat zijn inverse trigonometrische functies?

Inverse trigonometrische functies zijn de inverse functies van de basistrigonometrische functies (sinus, cosinus, tangens, cosecans, secans en cotangens). Ze worden gebruikt om de hoeken te vinden die overeenkomen met gegeven trigonometrische verhoudingen.

Waarom zijn inverse trigonometrische functies belangrijk?

Inverse trigonometrische functies zijn essentieel op verschillende gebieden, zoals meetkunde, techniek en natuurkunde, omdat ze helpen bij het bepalen van hoeken op basis van trigonometrische verhoudingen, wat cruciaal is voor het oplossen van veel praktische problemen.

Wat zijn de domeinen en bereiken van inverse trigonometrische functies?

Elke inverse trigonometrische functie heeft specifieke domeinen en bereiken:

S in -1 (x) : Domein [-1, 1] en bereik [- π/2, π/2]

want -1 (x) : Domein [-1, 1] en Bereik [ 0, π]

dus⁡ -1 (x) : Domein R en bereik (- π/2, π/2)

Kunnen inverse trigonometrische functies in de calculus worden gebruikt?

Ja, inverse trigonometrische functies worden vaak gebruikt in calculus voor integratie en differentiatie. Ze zijn vooral handig voor het integreren van functies waarbij trigonometrische uitdrukkingen betrokken zijn.