Integratie is het proces van het optellen van kleine waarden van een functie in het gebied van de limieten. Het is precies het tegenovergestelde van differentiatie. Integratie wordt ook wel anti-derivaat genoemd. We hebben de integratie van goniometrische functies in dit artikel hieronder uitgelegd.

Hieronder ziet u een voorbeeld van de integratie van een bepaalde functie.

bijvoorbeeld Beschouw een functie, f(y) = y².

Deze functie kan worden geïntegreerd als:

∫j²jij =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Echter, een onbepaalde integraal is een functie die de anti-afgeleide van een andere functie aanneemt. Het wordt weergegeven als een integraal symbool (∫), een functie en een afgeleide van de functie aan het einde. De onbepaalde integraal is een gemakkelijkere manier om een ​​anti-afgeleide te symboliseren.

Laten we eens kijken wat integratie wiskundig is, de integratie van een functie f(x) wordt gegeven door F(x) en wordt weergegeven door:

∫f(x)dx = F(x) + C

Hier R.H.S. van de vergelijking betekent integraal van f(x) met betrekking tot x, F(x) wordt anti-afgeleide of primitief genoemd, f(x) wordt de integrand genoemd, dx wordt de integrerende agent genoemd, C wordt integratieconstante genoemd of willekeurige constante en x is de integratievariabele.

Enkele belangrijke integralen van goniometrische functies

Hieronder volgt de lijst met enkele belangrijke formules van onbepaalde integralen op basis trigonometrische functies als volgt te onthouden:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sec²x dx = bruin x + C
• ∫ cosec²x dx = -kinderbed x + C
• ∫ sec x bruin x dx = sec x + C
• ∫ cosec x kinderbed x dx = -cosec x + C
• ∫ bruin x dx = ln | seconde x | +C
• ∫ kinderbed x dx = ln | zonde x | + C
• ∫ sec x dx = ln | sec x + bruinen x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – kinderbedje x | + C

Waar dx de afgeleide is van x, C is de integratieconstante en ln vertegenwoordigt de logaritme van de functie binnen modulus (| |).

Over het algemeen worden de problemen van onbepaalde integralen gebaseerd op trigonometrische functies opgelost door de substitutiemethode. Laten we dus als volgt meer bespreken over de integratie door substitutiemethode:

Integratie door vervanging

Bij deze methode van integratie door vervanging , wordt elke gegeven integraal omgezet in een eenvoudige vorm van integraal door de onafhankelijke variabele door andere te vervangen. Laten we een voorbeeld bekijken voor een beter begrip.

Voorbeeld: Vereenvoudig ∫ 3x ² zonde (x ³ ) dx.

Antwoord:

Stel dat ik = ∫ 3x²zonde (x³) dx.

Om de gegeven integraal te evalueren, kunnen we elke variabele vervangen door een nieuwe variabele als:

Laat x³be t voor de gegeven integraal.

Dan is dt = 3x²dx

Daarom,

ik = ∫ 3x²zonde (x³) dx = ∫ zonde (x³) (3x²dx)

Vervang nu x door t³en dt voor 3x²dx in de bovenstaande integraal.

ik = ∫ zonde (t) (dt)

ze zijn zangers

Als ∫ sin x dx = -cos x + C, dus

ik = -cos t + C

Nogmaals, vervang x terug³voor t in de uitdrukking als:

ik = ∫ 3x ² zonde (x ³ ) dx = -cosx ³ + C

Wat is de vereiste integraal.

De algemene vorm van integratie door substitutie is dus:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

Waar t = g(x)

Gewoonlijk is de methode van integratie door substitutie uiterst nuttig wanneer we een substitutie uitvoeren voor een functie waarvan de afgeleide ook aanwezig is in de integrand. Door dit te doen vereenvoudigt de functie en kunnen de basisformules van integratie worden gebruikt om de functie te integreren.

In calculus wordt de integratie door substitutiemethode ook wel de Reverse Chain Rule of U-substitutiemethode genoemd. We kunnen deze methode gebruiken om een ​​integrale waarde te vinden wanneer deze in de speciale vorm is ingesteld. Het betekent dat de gegeven integraal de vorm heeft:

Lees verder,

• Calculus in wiskunde
• Integralen
• Integraalrekening
• Differentiatie van trigfuncties
• Trigonometrische vergelijkingen

Voorbeeldproblemen bij de integratie van goniometrische functies

Probleem 1: Bepaal de integraal van de volgende functie: f(x) = cos ³ X.

Oplossing:

Laten we de integraal van de gegeven functie beschouwen als:

eenvoudig Java-programma

ik = ∫ cos³x dx

Het kan worden herschreven als:

ik = ∫ (cos x) (cos²x)dx

Gebruik van trigonometrische identiteit; want²x = 1 – zonde²x, wij krijgen

ik = ∫ (cos x) (1 – zonde²x)dx

⇒ ik = ∫ cos x – cos x zonde²x dx

⇒ ik = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²x dx

Als ∫ cos x dx = sin x + C,

Dus I = zonde x – ∫ zonde²x cos x dx. . . (1)

Laten we zeggen: zonde x = t

⇒ cos x dx = dt.

Vervang t door sin x en dt door cos x dx in de tweede term van de bovenstaande integraal.

ik = zonde x – ∫ t²dt

⇒ I = zonde x – t³/3 + C

Vervang t opnieuw door sin x in de uitdrukking.

Daarom ∫ cos ³ x dx = zonde x – zonde ³ x / 3 + C.

Probleem 2: Als f(x) = zonde ² (x) co ³ (x) bepaal vervolgens ∫ zonde ² (x) co ³ (x) dx.

Oplossing:

Laten we de integraal van de gegeven functie beschouwen als:

ik = ∫zonde²(x) co³(x) dx

Gebruik van trigonometrische identiteit; want²x = 1 – zonde²x, wij krijgen

ik = ∫zonde²x (1 – zonde²x) cos xdx

Laat zonde x = t dan,

⇒ dt = cos x dx

Vervang deze in de bovenstaande integraal als,

ik = ∫ t²(1 – t²) dt

⇒ ik = ∫ t²- T⁴dt

sorteer een arraylist

⇒ Ik = t³/ 3 – t⁵/ 5 + C

Vervang de waarde van t in de bovenstaande integraal als,

Daarom: ik = zonde ³ x / 3 – zonder ⁵ x / 5 + C.

Probleem 3: Stel dat f(x) = zonde ⁴ (x) zoek dan ∫ f(x)dx. dat wil zeggen ∫ zonde ⁴ (x) dx.

Oplossing:

Laten we de integraal van de gegeven functie beschouwen als:

ik = ∫zonde⁴(x) dx

⇒ ik = ∫ (zonder²(X))²dx

Gebruik maken van trigonometrie-identiteit; zonde²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, krijgen we

ik = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ ik = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ Ik = (1/4) × [ 3x / 2 + zonde 4x / 8 – zonde 2x ] + C

⇒ Ik = 3x / 8 + zonde 4x / 32 – zonde 2x / 4 + C

Vandaar ∫ zonde ⁴ (x) dx = 3x / 8 + zonde 4x / 32 – zonde 2x / 4 + C

Probleem 4: Vind de integratie van old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Oplossing:

Laten we de integraal van de gegeven functie beschouwen als:

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Laat t = bruinen^-1X . . . (1)

Differentieer nu beide kanten met betrekking tot x:

dt = 1 / (1+x²) dx

Daarom wordt de gegeven integraal:

ik = ∫ e^Tdt

⇒ ik = e^T+ C. . . (2)

parseer tekenreeks naar int

Vervang de waarde van (1) in (2) als:

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Wat is de vereiste integratie voor de gegeven functie.

Probleem 5: Vind de integraal van de functie f (x), gedefinieerd als:

f(x) = 2x cos(x ² – 5) dx

Oplossing:

Laten we de integraal van de gegeven functie beschouwen als:

ik = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

Laat (x²– 5) = t. . . (1)

Differentieer nu beide kanten met betrekking tot x als,

2x dx = dt

Door deze waarden in de bovenstaande integraal te vervangen,

ik = ∫ cos (t) dt

⇒ ik = zonde t + C . . . (2)

Vervang de waardevergelijking (1) in vergelijking (2) als:

⇒ Ik = zonde (x²– 5) + C

Dit is de vereiste integratie voor de gegeven functie.

Probleem 6: Bepaal de waarde van de gegeven onbepaalde integraal, I = ∫ cot (3x +5) dx.

Oplossing:

De gegeven integraal kan worden geschreven als,

I = ∫ kinderbed (3x +5) dx

⇒ ik = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Laat, t = zonde(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Dus,

ik = ∫ dt / 3 sin t

⇒ ik = (1 / 3) ln | t | + C

Vervang t door sin (3x+5) in de bovenstaande uitdrukking.

ik = (1/3) ln | zonde (3x+5) | + C

Dit is de vereiste integratie voor de gegeven functie.

Integratie van goniometrische functies – Veelgestelde vragen

Wat is de integratie van een goniometrische functie?

De integratie van trigonometrische functies, zoals de naam al doet vermoeden, is het proces van het berekenen van de integratie of primitief van trigonometrische functies. Dit is het omgekeerde proces van differentiatie van trigonometrische functies.

Wat zijn basistrigonometrische functies?

De fundamentele trigonometrische functies zijn:

Python tupel gesorteerd

• sinus (zonder),
• cosinus (cos),
• raaklijn (bruin),
• cotangens (elleboog),
• secans (sec), en
• cosecans (csc).

Hoe integreer je sinus- (sin) en cosinus- (cos) functies?

Om de sinus- en cosinusfuncties te integreren, kunnen we de volgende formules gebruiken:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Waar C is de constante van integratie.

Wat is de integratie van de tangens (tan) trigonometrische functie?

De integraal van de raaklijnfunctie wordt als volgt gegeven:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

Waar,

• ln vertegenwoordigt de natuurlijke logaritme, en
• C is de constante van integratie.

Hoe vind ik de integraal van de secanstrigonometrische functie?

De integraal van de secansfunctie wordt gegeven als:

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

Waar,

• ln vertegenwoordigt de natuurlijke logaritme, en
• C is de constante van integratie.

Wat is de integratie van de cotangens (kinderbed) trigonometrische functie?

De integraal van de cotangensfunctie kan worden berekend met behulp van de volgende formule:

∫ kinderbed(x) dx = ln|sin(x)| + C

Waar,

• ln vertegenwoordigt de natuurlijke logaritme, en
• C is de constante van integratie.

Hoe vind ik de integraal van de Cosecant (cosec) functie?

De integraal van de cosecansfunctie wordt gegeven als:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – kinderbedje x | + C

Waar,

• ln vertegenwoordigt de natuurlijke logaritme, en
• C is de constante van integratie.