EULER'S TOTIENT-FUNCTIE - TECHCODEVIEW.COM

De Totient-functie Φ(n) van Euler voor een invoer n is het aantal getallen in {1, 2, 3, …, n-1} die relatief priem zijn voor n, dat wil zeggen de getallen waarvan de GCD (grootste gemene deler) met n is 1.

Voorbeelden:

Φ(1) = 1
ggd(1, 1) is 1

Φ(2) = 1
ggd(1, 2) is 1, maar ggd(2, 2) is 2.

Φ(3) = 2
ggd(1, 3) is 1 en ggd(2, 3) is 1

Φ(4) = 2
ggd(1, 4) is 1 en ggd(3, 4) is 1

Φ(5) = 4
ggd(1, 5) is 1, ggd(2, 5) is 1,
ggd(3, 5) is 1 en ggd(4, 5) is 1

Φ(6) = 2
ggd(1, 6) is 1 en ggd(5, 6) is 1,

Aanbevolen oefening Euler Totient-functie Probeer het!

Hoe bereken je Φ(n) voor een invoer n?
A eenvoudige oplossing is het doorlopen van alle getallen van 1 tot n-1 en het tellen van getallen met ggd met n als 1. Hieronder staat de implementatie van de eenvoudige methode om de Totient-functie van Euler te berekenen voor een invoergetal n.

 // A simple C program to calculate Euler's Totient Function #include  // Function to return gcd of a and b int gcd(int a, int b) {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a); } // A simple method to evaluate Euler Totient Function int phi(unsigned int n) {  unsigned int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result; } // Driver program to test above function int main() {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // A simple java program to calculate // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void main(String[] args)  {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by sunnusingh>

Python3

 # A simple Python3 program  # to calculate Euler's  # Totient Function # Function to return # gcd of a and b def gcd(a, b): if (a == 0): return b return gcd(b % a, a) # A simple method to evaluate # Euler Totient Function def phi(n): result = 1 for i in range(2, n): if (gcd(i, n) == 1): result+=1 return result # Driver Code for n in range(1, 11): print('phi(',n,') = ', phi(n), sep = '') # This code is contributed # by Smitha>

 // A simple C# program to calculate // Euler's Totient Function using System; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void Main()  {  for (int n = 1; n <= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal>

Javascript >PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function // Function to return  // gcd of a and b function gcd($a, $b) {  if ($a == 0)  return $b;  return gcd($b % $a, $a); } // A simple method to evaluate // Euler Totient Function function phi($n) {  $result = 1;  for ($i = 2; $i <$n; $i++)  if (gcd($i, $n) == 1)  $result++;  return $result; } // Driver Code for ($n = 1; $n <= 10; $n++)  echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
'; // This code is contributed by Sam007 Φ>>

C++

 // A simple C++ program to calculate // Euler's Totient Function  #include  using namespace std;  // Function to return gcd of a and b  int gcd(int a, int b)  {   if (a == 0)   return b;   return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate Euler Totient Function  int phi(unsigned int n)  {   unsigned int result = 1;   for (int i = 2; i < n; i++)   if (gcd(i, n) == 1)   result++;   return result;  }  // Driver program to test above function  int main()  {   int n;   for (n = 1; n <= 10; n++)   cout << 'phi('<

Uitvoer

phi(1) = 1 phi(2) = 1 phi(3) = 2 phi(4) = 2 phi(5) = 4 phi(6) = 2 phi(7) = 6 phi(8) = 4 phi( 9) = 6 phi(10) = 4

conversie van int naar string in Java

De bovenstaande code roept de ggd-functie O(n) keer aan. De tijdscomplexiteit van de ggd-functie is O(h), waarbij h het aantal cijfers is in een kleiner aantal van gegeven twee getallen. Daarom is er een bovengrens voor de tijd complexiteit van de bovenstaande oplossing is O(N^2 log N) [Hoe Φ er maximaal Log kan zijn₁₀n cijfers in alle getallen van 1 tot n]

Hulpruimte: O(log N)

Hieronder staat een Betere oplossing . Het idee is gebaseerd op de productformule van Euler, die stelt dat de waarde van de totient-functies lager is dan de totale productprime-factoren p van n.

De formule zegt feitelijk dat de waarde van Φ(n) gelijk is aan n vermenigvuldigd bijproduct van (1 – 1/p) voor alle priemfactoren p van n. Bijvoorbeeld de waarde van Φ(6) = 6 * (1-1/2) * (1 – 1/3) = 2.
We kunnen alle priemfactoren vinden met behulp van het gebruikte idee dit na.

1) Initialiseren: resultaat = n
2) Voer een lus uit van 'p' = 2 tot sqrt(n), doe het volgende voor elke 'p'.
a) Als p n deelt, dan
Instellen: resultaat = resultaat * (1,0 - (1,0 / (float) p));
Verdeel alle voorkomens van p in n.
3) Resultaat retourneren

Hieronder vindt u de implementatie van de productformule van Euler.

C++

 // C++ program to calculate Euler's  // Totient Function using Euler's // product formula #include  using namespace std; int phi(int n) {    // Initialize result as n  float result = n;     // Consider all prime factors of n   // and for every prime factor p,  // multiply result with (1 - 1/p)  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)  {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultaat -= resultaat / n;  //Aangezien in de verzameling {1,2,...,n-1} alle getallen relatief priem zijn met n //als n een priemgetal is, retourneert (int)resultaat; } // Stuurprogrammacode int main() { int n;    voor(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) <

 // C program to calculate Euler's Totient Function // using Euler's product formula #include  int phi(int n) {  float result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and for every prime  // factor p, multiply result with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultaat -= resultaat / n;  //Aangezien in de verzameling {1,2,...,n-1} alle getallen relatief priem zijn met n //als n een priemgetal is, retourneert (int)resultaat; } // Stuurprogramma om bovenstaande functie te testen int main() { int n;  voor (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // Java program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula import java.io.*; class GFG {  static int phi(int n)  {  // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors of n and for  // every prime factor p, multiply result  // with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {  // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {  // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultaat -= resultaat / n;  //Aangezien in de verzameling {1,2,...,n-1} alle getallen relatief priem zijn met n //als n een priemgetal is, retourneert (int)resultaat;  } // Stuurprogramma om bovenstaande functie te testen public static void main(String args[]) { int n;  voor (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by Nikita Tiwari.>

Python3

 # Python 3 program to calculate # Euler's Totient Function # using Euler's product formula def phi(n) : result = n # Initialize result as n # Consider all prime factors # of n and for every prime # factor p, multiply result with (1 - 1 / p) p = 2 while p * p<= n : # Check if p is a prime factor. if n % p == 0 : # If yes, then update n and result while n % p == 0 : n = n // p result = result * (1.0 - (1.0 / float(p))) p = p + 1 # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most one # such prime factor) if n>1 : resultaat -= resultaat // n #Aangezien in de verzameling {1,2,...,n-1} alle getallen relatief priem zijn met n #als n een priemgetal is return int(result) # Driver programma om bovenstaande functie te testen voor n in bereik(1, 11) : print('phi(', n, ') = ', phi(n)) # Deze code is # bijgedragen door Nikita Tiwari.>

 // C# program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula using System; class GFG {    static int phi(int n)  {    // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors  // of n and for every prime   // factor p, multiply result  // with (1 - 1 / p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (float)(1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor   // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) resultaat -= resultaat / n;  //Aangezien in de verzameling {1,2,...,n-1} alle getallen relatief priem zijn met n //als n een priemgetal is, retourneert (int)resultaat;  } // Stuurprogrammacode public static void Main() { int n;  voor (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal.>

Javascript

 // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi(n) {  // Initialize result as n  let result = n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for (let p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if (n>1) resultaat -= resultaat / n;  //Aangezien in de verzameling {1,2,...,n-1} alle getallen relatief priem zijn met n //als n een priemgetal is return parseInt(result); } // Stuurprogrammacode voor (laat n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed by _saurabh_jaiswal>

PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi($n) {  // Initialize result as n  $result = $n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for ($p = 2; $p * $p <= $n; ++$p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while ($n % $p == 0)  $n /= $p;  $result *= (1.0 - (1.0 / $p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if ($n>1) $resultaat -= $resultaat / $n;  //Aangezien in de verzameling {1,2,...,n-1} alle getallen relatief priem zijn met n //als n een priemgetal is return intval($result); } // Stuurprogrammacode voor ($n = 1; $n<= 10; $n++) echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
';   // This code is contributed by Sam007 Φ>>

Uitvoer

Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4

Tijdcomplexiteit: O(Φ n log n)
Hulpruimte: O(1)

Met de bovenstaande methode kunnen we drijvende-kommaberekeningen vermijden. Het idee is om alle priemfactoren en hun veelvouden te tellen en deze telling van n af te trekken om de totient-functiewaarde te krijgen (priemfactoren en veelvouden van priemfactoren hebben niet ggd als 1)

1) Initialiseer het resultaat als n
2) Beschouw elk getal 'p' (waarbij 'p' varieert van 2 tot Φ(n)).
Als p n deelt, doe dan het volgende
a) Trek alle veelvouden van p af van 1 tot n [alle veelvouden van p
zal ggd meer dan 1 hebben (minstens p) met n]
b) Werk n bij door deze herhaaldelijk te delen door p.
3) Als de gereduceerde n groter is dan 1, verwijder dan alle veelvouden
van n uit resultaat.

Hieronder ziet u de implementatie van het bovenstaande algoritme.

C++

 // C++ program to calculate Euler's // Totient Function #include  using namespace std; int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;     // Consider all prime factors of n   // and subtract their multiples   // from result  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result -= result / p;  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultaat -= resultaat / n;    resultaat retourneren; } // Stuurprogrammacode int main() { int n;  voor(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) << endl;  }  return 0; } // This code is contributed by koulick_sadhu>

 // C program to calculate Euler's Totient Function #include  int phi(int n) {  int result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultaat -= resultaat / n;  resultaat retourneren; } // Stuurprogramma om bovenstaande functie te testen int main() { int n;  voor (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // Java program to calculate  // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG  { static int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;   // Consider all prime factors   // of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) resultaat -= resultaat / n;  resultaat retourneren; } // Stuurprogrammacode public static void main (String[] args) { int n;  voor (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n +   ') = ' + phi(n)); } } // This code is contributed by ajit>

Python3

 # Python3 program to calculate  # Euler's Totient Function def phi(n): # Initialize result as n result = n; # Consider all prime factors # of n and subtract their # multiples from result p = 2; while(p * p <= n): # Check if p is a  # prime factor. if (n % p == 0): # If yes, then  # update n and result while (n % p == 0): n = int(n / p); result -= int(result / p); p += 1; # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most  # one such prime factor) if (n>1): resultaat -= int(resultaat / n); resultaat retourneren; # Stuurprogrammacode voor n binnen bereik(1, 11): print('phi(',n,') =', phi(n)); # Deze code is # bijgedragen door mits>

 // C# program to calculate  // Euler's Totient Function using System; class GFG {   static int phi(int n) { // Initialize result as n int result = n;  // Consider all prime  // factors of n and  // subtract their  // multiples from result for (int p = 2;  p * p <= n; ++p) {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  } } // If n has a prime factor // greater than sqrt(n) // (There can be at-most  // one such prime factor) if (n>1) resultaat -= resultaat / n; resultaat retourneren; } // Stuurprogrammacode statisch openbaar ongeldig Main () { int n;  voor (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n +   ') = ' +  phi(n)); } } // This code is contributed  // by akt_mit>

Javascript

 // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function function phi(n) {  // Initialize   // result as n  let result = n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for (let p = 2;   p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while (n % p == 0)  n = parseInt(n / p);  result -= parseInt(result / p);  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) resultaat -= parseInt(resultaat / n);  resultaat retourneren; } // Stuurprogrammacode voor (laat n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed  // by _saurabh_jaiswal>

PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function function phi($n) {  // Initialize   // result as n  $result = $n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for ($p = 2;   $p * $p <= $n; ++$p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while ($n % $p == 0)  $n = (int)$n / $p;  $result -= (int)$result / $p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if ($n>1) $resultaat -= (int)$resultaat / $n;  retourneer $resultaat; } // Stuurprogrammacode voor ($n = 1; $n<= 10; $n++)  echo 'phi(', $n,') =',   phi($n), '
';   // This code is contributed  // by ajit Φ>>

Uitvoer

Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4

Tijdcomplexiteit: O(Φ n log n)
Hulpruimte: O(1)

Laten we een voorbeeld nemen om het bovenstaande algoritme te begrijpen.

muis scrollen werkt niet

n = 10.
Initialiseren: resultaat = 10

2 is een priemfactor, dus n = n/i = 5, resultaat = 5
3 is geen hoofdfactor.

De for-lus stopt na 3 als 4*4 is niet kleiner dan of gelijk
tot 10.

Na for-lus, resultaat = 5, n = 5
Omdat n> 1, resultaat = resultaat - resultaat/n = 4

Enkele interessante eigenschappen van de totient-functie van Euler

1) Voor een priemgetal blz ,phi(p) = p – 1

Bewijs :

phi(p) = p - 1, waarbij p een willekeurig priemgetal is, dat weten wegcd(p, k) = 1waarbij k een willekeurig getal is enk eq pTotaal aantal van 1 tot p = p Nummer waarvoorgcd(p, k) = 1is1, dat wil zeggen het getal p zelf, dus 1 aftrekken van pphi(p) = p - 1

Voorbeelden:

mac-besturingssystemen

phi(5) = 5 - 1 = 4phi(13) = 13 - 1 = 12phi(29) = 29 - 1 = 28

2) Voor twee priemgetallen a en b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) = (a – 1) cdot (b – 1) , gebruikt in RSA-algoritme

Bewijs :

phi(acdot b) = phi(a) cdot phi(b), waarbij a en b priemgetallen zijnphi(a) = a - 1,phi(b) = b - 1Totaal aantal van 1 tot ab = ab Totaal veelvouden van a van 1 tot ab =frac{a cdot b} {a}=bTotaal veelvouden van b van 1 tot ab =frac{a cdot b} {b}=a Voorbeeld: a = 5, b = 7, ab = 35 Veelvouden van a =frac {35} {5}= 7 {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}Veelvouden van b =frac {35} {7}= 5 {7, 14, 21, 28, 35} Kan er sprake zijn van dubbeltelling? (let goed op bovenstaand voorbeeld, probeer het met andere priemgetallen ook voor meer grip) Natuurlijk hebben we geteldab tweemaal in veelvouden van a en veelvouden van b dus, Totaal veelvouden = a + b - 1 (waarmeegcd eq 1metab)phi(ab) = ab - (a + b - 1), verwijder alle nummers metgcd eq 1metab phi(ab) = a(b - 1) - (b - 1)phi(ab) = (a - 1) cdot (b - 1)phi(ab) = phi(a) cdot phi(b)

Voorbeelden:

phi(5 cdot 7) = phi(5) cdot phi(7) = (5 - 1) cdot (7 - 1) = 24phi(3 cdot 5) = phi(3) cdot phi(5) = (3 - 1) cdot (5 - 1) = 8phi(3 cdot 7) = phi(3) cdot phi(7) = (3 - 1) cdot (7 - 1) = 12

3) Voor een priemgetal blz ,phi(p ^ k) = p ^ k – p ^ {k – 1}

C#-codevoorbeelden

Bewijs :

phi(p^k) = p ^ k - p ^{k - 1}, waarbij p een priemgetal isTotaal aantal van 1 totp ^ k = p ^ kTotaal veelvouden vanp = frac {p ^ k} {p} = p ^ {k - 1}Deze veelvouden verwijderen zoals bij hengcd eq 1 Voorbeeld : p = 2, k = 5,p ^ k= 32 Veelvouden van 2 (zoals bij hengcd eq 1) = 32/2 = 16 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32}phi(p ^ k) = p ^ k - p ^ {k - 1}

Voorbeelden:

phi(2 ^ 5) = 2 ^ 5 - 2 ^ {5 - 1} = 32 - 16 = 16phi(5 ^ 3) = 5 ^ 3 - 5 ^ {3 - 1} = 125 - 25 = 100phi(3 ^ 5) = 3 ^ 5 - 3 ^ {5 - 1} = 243 - 81 = 162

4) Voor twee nummer a en b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}

Speciaal geval: ggd(a, b) = 1

phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {1} {phi(1)} = phi(a) cdot phi(b)

Voorbeelden:

Speciaal geval : gcd(a, b) = 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) phi(2 cdot 9) = phi(2) cdot phi(9) = 1 cdot 6 = 6phi(8 cdot 9) = phi(8) cdot phi(9) = 4 cdot 6 = 24phi(5 cdot 6) = phi(5) cdot phi(6) = 4 cdot 2 = 8 Normaal geval: gcd(a, b) eq 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}phi(4 cdot 6) = phi(4) cdot phi(6) cdot frac {gcd(4, 6)} {phi(gcd(4, 6))} = 2 cdot 2 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 2 cdot 2 = 8phi(4 cdot 8) = phi(4) cdot phi(8) cdot frac {gcd(4, 8)} {phi(gcd(4, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{4}{2} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16phi(6 cdot 8) = phi(6) cdot phi(8) cdot frac {gcd(6, 8)} {phi(gcd(6, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16

5) De som van de waarden van totient-functies van alle delers van n is gelijk aan n.

gauss

Voorbeelden:

n = 6
factoren = {1, 2, 3, 6}
n =phi(1) + phi(2) + phi(3) + phi(6)= 1 + 1 + 2 + 2 = 6n = 8factoren = {1, 2, 4, 8}n =phi(1) + phi(2) + phi(4) + phi(8)= 1 + 1 + 2 + 4 = 8n = 10factoren = {1, 2, 5, 10}n =phi(1) + phi(2) + phi(5) + phi(10)= 1 + 1 + 4 + 4 = 10

het alfabet nummeren

6) Het bekendste en belangrijkste kenmerk komt tot uiting in De stelling van Euler :

De stelling stelt dat als n en a coprime zijn
(of relatief priemgetal) positieve gehele getallen dus

A^Φ(n)Φ 1 (mod n)

De RSA cryptosysteem is gebaseerd op deze stelling:
In het specifieke geval waarin m een priemgetal is, bijvoorbeeld p, verandert de stelling van Euler in de zogenaamde De kleine stelling van Fermat :

A^p-1Φ 1 (tegen p)

7) Aantal generatoren van een eindige cyclische groep onder modulo n-optelling is Φ(n) .

Gerelateerd artikel:
Euler's Totient-functie voor alle getallen kleiner dan of gelijk aan n
Geoptimaliseerde Euler Totient-functie voor meerdere evaluaties

Referenties:
http://e-maxx.ru/algo/euler_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function

https://cp-algorithms.com/algebra/phi-function.html

http://mathcenter.oxford.memory.edu/site/math125/chineseRemainderTheorem/