Het akkoord van een cirkel is de lijn die twee willekeurige punten op de omtrek van de cirkel verbindt. Een cirkel kan verschillende akkoorden hebben en het grootste akkoord van een cirkel is de diameter van de cirkel. We kunnen de lengte van het akkoord eenvoudig berekenen met behulp van de Akkoordlengteformule. Zoals de naam al doet vermoeden is dit de formule voor het berekenen van de lengte van het akkoord in een cirkel in de geometrie.

In dit artikel zullen we leren over de definitie van het akkoord, de stellingen van de akkoorden en de cirkel, de eigenschappen ervan uitleggen en de formules om de lengte van het akkoord te berekenen met behulp van verschillende methoden. Het artikel bevat ook enkele opgeloste voorbeeldproblemen voor een beter begrip.

Inhoudsopgave

• Cirkeldefinitie
• Akkoord van een cirkeldefinitie
• Wat is de akkoordlengteformule?
• Akkoord van een cirkelstellingen
• Eigenschappen van akkoorden van een cirkel
• Opgeloste problemen
• Veelgestelde vragen

Cirkeldefinitie

Een cirkel is een perfect ronde vorm die bestaat uit alle punten in een vlak die zich op een bepaalde afstand van een bepaald punt bevinden. Ze bestaan ​​uit een gesloten gebogen lijn rond een centraal punt. De punten op de lijn liggen op dezelfde afstand van het middelpunt. De afstand tot het middelpunt van een cirkel wordt een straal genoemd.

Akkoord van een cirkeldefinitie

Het lijnsegment dat twee willekeurige punten op de omtrek van de cirkel verbindt, staat bekend als het akkoord van een cirkel. Omdat de diameter ook de twee punten op de omtrek van een cirkel verbindt, is deze ook een koorde voor een cirkel. In feite is de diameter het langste akkoord van de cirkel. Met andere woorden: het akkoord is een lijnsegment waarvan beide uiteinden op de omtrek van een cirkel liggen. De volgende illustratie kan ons helpen meer te begrijpen.

Wat is de akkoordlengteformule?

Er zijn twee basismethoden of formules om de lengte van het akkoord te berekenen. een koordelengte kan worden bepaald door gebruik te maken van de loodrechte afstand vanaf het middelpunt van de cirkel, maar ook door de trigonometrische methode. Zo kan de lengte van een akkoord worden gevonden

• Met behulp van de stelling van Pythagoras
• De wet van cosinus gebruiken

Laten we deze methoden als volgt in detail begrijpen:

Methode 1: Gebruik van de stelling van Pythagoras

In het volgende diagram voor een akkoord, zoals we weten, deelt de loodlijn getrokken vanuit het midden van de cirkel op het akkoord het in twee helften.

voor lus-java

In driehoeken OAM, met behulp van De stelling van Pythagoras ,

R²= x²+ d²

⇒x²= r²- D²

⇒ x = √(r²- D²)

Omdat x de helft van de lengte van het akkoord is,

De koordelengte voor elke cirkel waarvan de loodrechte afstand tot het midden bekend is, wordt dus gegeven als

Lengte van een akkoord van een cirkel = 2 ×[√(r ² - D ² )]

Waar,

• R is de straal van de cirkel, en
• D is de loodrechte afstand tussen het middelpunt van de cirkel en het akkoord.

Methode 2: Gebruik van de cosinusregel

Zoals we weten voor een driehoek ABC, met zijden a, b en c, is de Wet van cosinus staten,

C ² = een ² + b ² – 2ab cos C

Met behulp van deze wet in het volgende diagram van een akkoord dat de θ-hoek in het midden van de cirkel insluit, kunnen we de lengte van het akkoord vinden.

In driehoek OAB, met behulp van de cosinuswet,

⇒x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

De akkoordlengte wordt dus gegeven door:

Akkoordlengte = 2r × sin [θ/2]

Waar,

• i is de hoek die wordt ingesloten door het akkoord in het midden, en
• R is de straal van de cirkel.

Andere gerelateerde formule voor akkoordlengte

Als twee cirkels een gemeenschappelijk akkoord delen, kan de lengte van dat gemeenschappelijke akkoord worden berekend met behulp van de formule

Lengte van een gemeenschappelijk akkoord van twee cirkels = 2R ₁ × R ₂ / D

Waar,

• R ₁ En R ₂ verwijst naar de straal van cirkels
• D is de afstand tussen de twee middelpunten van de cirkel

Akkoord van een cirkelstellingen

Het akkoord van de cirkel onderspant de hoek in het midden van de cirkel, wat ons helpt verschillende concepten in de cirkel te bewijzen. Er zijn verschillende stellingen gebaseerd op het akkoord van een cirkel,

• Stelling 1: Gelijke akkoorden Stelling van gelijke hoeken
• Stelling 2: Gelijke hoeken Gelijke akkoorden Stelling (omgekeerde van Stelling 1)
• Stelling 3: Gelijke akkoorden op gelijke afstand van de middenstelling

Laten we hetzelfde bespreken in het onderstaande artikel.

Stelling 1: Stelling van gelijke akkoorden en gelijke hoeken

Verklaringen: Gelijke akkoorden onderspannen gelijke hoeken in het midden van de cirkel, dat wil zeggen dat de hoek die door het akkoord wordt omgeven, gelijk is als het akkoord gelijk is.

Bewijs:

Uit de figuur,

In ∆AOB en ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (Gegeven)
• OA = OD …eq(ii) (cirkelstraal)
• OB = OC …eq(iii) (cirkelstraal)

Volgens SSS-congruentievoorwaarden zijn de driehoek ∆AOB en ∆COD dus congruent.

Dus,

∠AOB = ∠DOC (door CPCT)

Zo is de stelling geverifieerd.

Stelling 2: Stelling van gelijke hoeken, gelijke akkoorden (omgekeerde van stelling 1)

Stelling: Akkoorden die gelijke hoeken in het midden van een cirkel omspannen, zijn even lang. Dit is het omgekeerde van de eerste stelling.

Uit de figuur,

In ∆AOB en ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (Gegeven)
• OA = OD …eq(ii) (cirkelstraal)
• OB = OC …eq(iii) (cirkelstraal)

Volgens SAS-congruentievoorwaarden zijn de driehoek ∆AOB en ∆COD dus congruent.

Dus,

AB = CD (door CPCT)

Zo is de stelling geverifieerd.

Stelling 3: Gelijke akkoorden op gelijke afstand van de centrale stelling

Stelling: Gelijke akkoorden liggen op gelijke afstand van het midden, dat wil zeggen dat de afstand tussen het middelpunt van de cirkel en het gelijke akkoord altijd gelijk is.

Uit de figuur,

In ∆AOL en ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 graden)
• OA = OC …eq(ii) (cirkelstraal)
• OL = OM …eq(iii) (Gegeven)

Volgens de RHS-congruentievoorwaarden zijn de driehoek ∆AOB en ∆COD dus congruent.

Dus,

AL = CM (volgens CPCT)…(iv)

middelste CSS-knop

Nu weten we dat de loodlijn vanuit het midden de akkoorden doorsnijdt.

Van eq(iv)

2AL=2CM

AB=CD

Zo is de stelling geverifieerd.

Eigenschappen van akkoorden van een cirkel

Er zijn verschillende eigenschappen van akkoorden in een cirkel, sommige van die eigenschappen zijn als volgt:

• Een akkoord dat door het middelpunt van een cirkel gaat, wordt een diameter genoemd en is het langste akkoord in de cirkel.
• De loodlijn op een akkoord, die vanuit het midden van de cirkel wordt getrokken, doorsnijdt het akkoord.
• Akkoorden die op gelijke afstand van het middelpunt van een cirkel liggen, zijn even lang.
• Er is slechts één cirkel die door drie collineaire punten gaat.
• Akkoorden met een gelijke lengte omvatten gelijke hoeken in het midden van een cirkel.
• De middelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt van de cirkel.
• Als een straal loodrecht op een akkoord staat, doorsnijdt hij het akkoord en de boog die hij onderschept. Dit staat bekend als de middelloodlijnstelling.
• Wanneer de ingesloten hoeken door een koorde gelijk zijn, dan is de lengte van de akkoorden ook gelijk.
• Als twee akkoorden in een cirkel elkaar snijden, is het product van de segmenten van het ene akkoord gelijk aan het product van de segmenten van het andere akkoord. Dit staat bekend als de stelling van de snijdende akkoorden.
• De hoek die wordt ingesloten door een koorde in het midden is tweemaal de hoek die wordt ingesloten door de koorde aan de omtrek.

Lees verder,

• Vergelijking van een cirkel
• Gebied van een cirkel
• Omtrek van cirkel

Opgeloste problemen op akkoord van een cirkel

Probleem 1: Een cirkel is een hoek van 70 graden met een straal van 5 cm. Bereken de koordelengte van de cirkel.

Oplossing:

Gegeven

• Straal = 5 cm
• Hoek = 70°

Nu,

akkoordlengte = 2R × Sin [hoek/2]

= 2 × 5 × zonde [70/2]

= 10 × zonde35°

= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

Probleem 2: In een cirkel , de straal is 7 cm en de loodrechte afstand van het middelpunt van de cirkel tot de koorden is 6 cm. Bereken de lengte van het akkoord.

Oplossing:

Gegeven

• Straal = 7 cm
• Afstand = 6 cm

Nu,

Lengte van het akkoord = 2 √r²- D²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49-36

= 2 √13 cm

Probleem 3: Een cirkel is een hoek van 60 graden met een straal van 12 cm. Bereken de koordelengte van de cirkel.

Oplossing:

Gegeven

• Straal = 12 cm
• Hoek = 60°

Nu,

akkoordlengte = 2R × Sin [hoek/2]

⇒ 2 × 12 × zonde [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24×0,5

⇒ 12cm

Probleem 4: In een cirkel is de straal 16 cm en de loodrechte afstand van het middelpunt van de cirkel tot de koorden is 5 cm. Bereken de lengte van het akkoord.

Oplossing:

Gegeven

• Straal = 16 cm
• Afstand = 5 cm

Nu,

Lengte van het akkoord = 2 √r²- D²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

GB versus MB

⇒ 2 √ 256- 25

⇒ 2 √231

⇒ 2×15,1

⇒ 30,2 cm

Probleem 6: Bereken de lengte van een gemeenschappelijk akkoord tussen de cirkels met respectievelijk een straal van 6 cm en 5 cm. En de afstand tussen de twee centra werd gemeten op 8 cm.

Oplossing:

Gegeven

Afstand tussen de twee middelpunten = 8 cm

De straal van de twee cirkels is R₁en R₂met lengtes respectievelijk 6 cm en 5 cm

Nu,

Lengte van een gemeenschappelijk akkoord van twee cirkels = (2R₁× R₂) / Afstand tussen twee middelpunten van cirkels

⇒ 2×5×6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Veelgestelde vragen over Chord of a Circle

Definieer akkoord.

Een lijnsegment dat twee punten op de omtrek van de cirkel verbindt, staat bekend als Chord.

Wat is de akkoordlengteformule?

De Akkoordlengteformule berekent de lengte van een akkoord in een cirkel.

Kan de lengte van een akkoord groter zijn dan de diameter van een cirkel?

Nee, de lengte van een akkoord kan niet groter zijn dan de diameter, aangezien de diameter het langste akkoord van de cirkel is.

Hoe wordt de lengte van een akkoord beïnvloed als het dichter bij het midden van de cirkel ligt?

Naarmate het akkoord het midden van de cirkel nadert, nadert de lengte de maximale lengte, d.w.z. de diameter.

Hoe wordt de lengte van een akkoord beïnvloed als het dichter bij de rand van de cirkel ligt?

Naarmate het akkoord de rand van de cirkel nadert, nadert de lengte 0. De lengte van het akkoord en de afstand tot de rand hebben dus een omgekeerde relatie.

Wat is de relatie tussen de akkoordlengte en de centrale hoek van een cirkel?

De relatie tussen de e-akkoordlengte en de centrale hoek van een cirkel is als volgt:

Akkoordlengte = 2r × sin [θ/2]

Waar,

• i is de hoek die wordt ingesloten door het akkoord in het midden, en
• R is de straal van de cirkel.

Kan de akkoordlengteformule voor elke cirkel worden gebruikt?

Ja, de Akkoordlengteformule kan voor elke cirkel worden gebruikt, zolang de straal en de centrale hoek bekend zijn.

Is de diameter een akkoord van een cirkel?

Ja, de diameter is een koorde van een cirkel. Het is het langst mogelijke akkoord van een cirkel. Het is gelijk aan tweemaal de straal van de cirkel.

D = 2r

Waar,

• D is de diameter van de cirkel
• R is de straal van de cirkel