Het gebied onder de curve is het gebied dat wordt omsloten door de curve en de coördinatenassen. Dit wordt berekend door zeer kleine rechthoeken te nemen en vervolgens hun som te nemen. Als we oneindig kleine rechthoeken nemen, wordt hun som berekend door de limiet van de aldus gevormde functie te nemen.

Voor een gegeven functie f(x) gedefinieerd in het interval [a, b] wordt de oppervlakte (A) onder de curve van f(x) van ‘a’ tot ‘b’ gegeven door EEN = ∫ _A ^B f(x)dx . Het gebied onder een curve wordt berekend door de absolute waarde van de functie over het interval [a, b] te nemen, opgeteld over het bereik.

In dit artikel zullen we in detail leren over het gebied onder de curve, de toepassingen, voorbeelden en andere.

Inhoudsopgave

• Wat is het gebied onder de curve?
• Berekening van het gebied onder de curve
• Reimann-sommen gebruiken
• Het gebruik van bepaalde integralen
• Benaderend gebied onder de curve
• Oppervlakte onder curve berekenen
• Formules voor gebied onder curve

Wat is het gebied onder de curve?

Gebied onder de curve is het gebied dat wordt omsloten door een curve met de x-as en gegeven randvoorwaarden, dat wil zeggen het gebied dat wordt begrensd door de functie y = f(x), x-as en de lijn x = a en x = b. In sommige gevallen is er slechts één of geen randvoorwaarde, aangezien de curve de x-as respectievelijk één of twee keer snijdt.

Het gebied onder de curve kan worden berekend met behulp van verschillende methoden, zoals de Reimann-som, en Bepaalde integraal en we kunnen het gebied ook benaderen met behulp van de basisvormen, dat wil zeggen driehoek, rechthoek, trapezium, enz.

Lees gedetailleerd: Calculus in wiskunde

Berekening van het gebied onder de curve

Om de oppervlakte onder een curve te berekenen, kunnen we de volgende methoden gebruiken, zoals:

• Reimann-sommen gebruiken
• Het gebruik van bepaalde integralen
• Benadering gebruiken

Laten we deze methoden als volgt in detail bestuderen:

Reimann-sommen gebruiken

Reimann-sommen wordt berekend door de grafiek van een bepaalde functie in kleinere rechthoeken te verdelen en de gebieden van elke rechthoek bij elkaar op te tellen. Hoe meer rechthoeken we in beschouwing nemen door het opgegeven interval onder te verdelen, des te nauwkeuriger is het gebied dat met deze benadering wordt berekend; niettemin: hoe meer subintervallen we in beschouwing nemen, hoe moeilijker de berekeningen worden.

Reimann Sum kan in nog drie categorieën worden ingedeeld, zoals:

• Links Reimann Sum
• Juiste Reimann-som
• Middelpunt Reimann-som

Het gebied dat de Reimann-som gebruikt, wordt als volgt gegeven:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

waar,

• f(x _i ) is de waarde van de functie die wordt geïntegreerd in de i ^e voorbeeldpunt
• Δx = (b-a)/n is de breedte van elk subinterval,
  • A En B zijn de grenzen van integratie en
  • N is het aantal subintervallen
• ∑ vertegenwoordigt de som van alle termen van i=1 tot n,

Voorbeeld: Zoek het gebied onder de curve voor de functie f(x) = x ² tussen de grenzen x = 0 en x = 2.

Oplossing:

We willen het gebied onder de curve van deze functie vinden tussen x = 0 en x = 2. We zullen een linker Reimann Sum gebruiken met n = 4 subintervallen om het gebied te benaderen.

Laten we het gebied onder de curve berekenen met behulp van 4 subintervallen.

Dus breedte van subintervallen, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Alle 4 subintervallen zijn,

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

X₀= 0,x₁= 0,5,x₂= 1,x₃= 1,5,x₄= 2

javascriptvariabele globaal

Nu kunnen we de functie evalueren bij deze x-waarden om de hoogten van elke rechthoek te vinden:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Het gebied onder de curve kan nu worden benaderd door de gebieden van de rechthoeken die door deze hoogten worden gevormd bij elkaar op te tellen:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Daarom is het gebied onder de curve van f(x) = x²tussen x = 0 en x = 2, benaderd met behulp van een linker Reimann Sum met 4 subintervallen, is ongeveer 1,25.

Het gebruik van bepaalde integralen

Definitieve Integraal is vrijwel hetzelfde als de Reimann-som, maar hier benadert het aantal subintervallen oneindig. Als de functie wordt gegeven voor interval [a, b], wordt de definitieve integraal gedefinieerd als:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Een definitieve integraal geeft het exacte gebied onder de curve weer, in tegenstelling tot de Reimann-som. De definitieve integraal wordt berekend door de primitief van de functie te vinden en deze te evalueren op de grenzen van integratie.

Gebied ten opzichte van de X-as

De curve in de onderstaande afbeelding wordt weergegeven met y = f(x). We moeten het gebied onder de curve berekenen ten opzichte van de x-as. De grenswaarden voor de curve op de x-as zijn respectievelijk a en b. Het gebied A onder deze curve ten opzichte van de x-as wordt berekend tussen de punten x = a en x = b. Beschouw de volgende kromme:

De formule voor het gebied onder de curve ten opzichte van de x-as wordt gegeven door:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

waar,

• A is het gebied onder de curve
• En of f(x) is vergelijking van curve
• A, En B zijn x-waarden of integratielimiet, waarvoor we de oppervlakte moeten berekenen

Gebied ten opzichte van de Y-as

De curve in de bovenstaande afbeelding wordt weergegeven met x = f(y). We moeten het gebied onder de curve berekenen ten opzichte van de Y-as. De grenswaarden voor de curve op de Y-as zijn respectievelijk a en b. Het gebied A onder deze curve ten opzichte van de Y-as tussen de punten y = a en y = b. Beschouw de volgende kromme:

De formule voor het gebied onder de curve ten opzichte van de y-as wordt gegeven door:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

waar,

• A is het gebied onder de curve
• X of f(y) is vergelijking van curve
• een, b zijn y-onderscheppingen

Kom meer te weten, Gebied tussen twee curven

Benaderend gebied onder de curve

Bij het benaderen van het gebied onder de curve worden eenvoudige geometrische vormen gebruikt, zoals rechthoeken of trapeziums, om het gebied onder de curve te schatten. Deze methode is handig als de functie moeilijk te integreren is of als het niet mogelijk is een primitief van de functie te vinden. De nauwkeurigheid van de benadering hangt af van de grootte en het aantal gebruikte vormen.

Oppervlakte onder curve berekenen

We kunnen eenvoudig het gebied van de verschillende curven berekenen met behulp van de concepten die in het betreffende artikel worden besproken. Laten we nu enkele voorbeelden bekijken van de berekening van het gebied onder de curve voor enkele veel voorkomende curven.

Gebied onder de curve: parabool

We weten dat een standaardparabool in twee symmetrische delen wordt verdeeld door de x-as of de y-as. Stel dat we een parabool y nemen²= 4ax en dan moet de oppervlakte ervan worden berekend van x = 0 tot x = a. En indien nodig verdubbelen we de oppervlakte om de oppervlakte van de parabool in beide kwadranten te vinden.

Oppervlakte berekenen,

En²= 4ax

y = √(4ax)

EEN = 2∫₀^Ay.dx

EEN = 2∫₀^A√(4ax).dx

EEN = 4√(a)∫₀^A√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Het gebied onder de parabool van x = 0 tot x = a is dus 8/3a ² vierkante eenheden

Gebied onder curve: cirkel

Een cirkel is een gesloten kromme waarvan de omtrek altijd op gelijke afstand van het middelpunt ligt. De oppervlakte wordt berekend door eerst de oppervlakte in het eerste kwadrant te berekenen en deze vervolgens voor alle vier de kwadranten met 4 te vermenigvuldigen.

Stel dat we een cirkel x nemen²+ en²= een²en vervolgens moet de oppervlakte ervan worden berekend van x = 0 tot x = a in het eerste kwadrant. En indien nodig verviervoudigen we de oppervlakte om de oppervlakte van de cirkel te vinden.

Oppervlakte berekenen,

X²+ en²= een²

y = √(een²- X²).dx

EEN = 4∫₀^Ay.dx

EEN = 4∫₀^A√(een²- X²).dx

A = 4[x/2√(een²- X²) + een²/2 zonder^-1(x/a)]^A₀

EEN = 4[{(a/2).0 + een²/2.zonder^-1} – 0]

EEN = 4(een²/2)(p/2)

A = πa²

retourneert een array-Java

Het gebied onder de cirkel is dus vader ² vierkante eenheden

Gebied onder de curve: ellips

Een cirkel is een gesloten curve. De oppervlakte wordt berekend door eerst de oppervlakte in het eerste kwadrant te berekenen en deze vervolgens voor alle vier de kwadranten met 4 te vermenigvuldigen.

Stel dat we een cirkel nemen (x/a)²+ (j/b)²= 1 en vervolgens moet de oppervlakte ervan worden berekend van x = 0 tot x = a in het eerste kwadrant. En indien nodig verviervoudigen we de oppervlakte om de oppervlakte van de ellips te vinden.

Oppervlakte berekenen,

(x/a)²+ (j/b)²= 1

y = b/a√(een²- X²).dx

EEN = 4∫₀^Ay.dx

A = 4b/a∫₀^A√(een²- X²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²- X²) + een²/2 zonder^-1(x/a)]^A₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + een²/2.zonder^-1} – 0]

EEN = 4b/een(een²/2)(p/2)

A = πab

Het gebied onder de ellips is dus: πab vierkante eenheden.

Formules voor gebied onder curve

De formule voor verschillende soorten berekeningen van Area Under Curve vindt u hieronder:

Lees ook

• Integralen
• Gebied als definitieve integraal

Voorbeeldvoorbeelden van het gebied onder de curve

Voorbeeld 1: Zoek het gebied onder de curve y ² = 12x en de X-as.

Oplossing:

Gegeven curvevergelijking is y²= 12x

Dit is een paraboolvergelijking met a = 3 dus y²= 4(3)(x)

Hieronder ziet u een grafiek voor het vereiste gebied:

De X-as verdeelt de bovenstaande parabool in 2 gelijke delen. We kunnen dus de oppervlakte in het eerste kwadrant vinden en deze vervolgens met 2 vermenigvuldigen om de vereiste oppervlakte te krijgen

We kunnen het vereiste gebied dus vinden als:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 vierkante eenheden

Voorbeeld 2: Bereken de oppervlakte onder de curve x = y ³ – 9 tussen de punten y = 3 en y = 4.

Oplossing:

Gegeven is de vergelijking van de curve x = y³– 9

Grenspunten zijn (0, 3) en (0, 4)

Omdat de curvevergelijking de vorm x = f(y) heeft en de punten zich ook op de Y-as bevinden, zullen we de formule gebruiken:

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 vierkante eenheden

zonnige del

Voorbeeld 3: Bereken de oppervlakte onder de curve y = x ² – 7 tussen de punten x = 5 en x = 10.

Oplossing:

Gegeven is de curve y = x²−7 en de grenspunten zijn (5, 0) en (10, 0)

Het gebied onder de curve wordt dus gegeven door:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ EEN = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ EEN = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 vierkante eenheden

Voorbeeld 4: Zoek het gebied dat wordt omsloten door de parabool y ² = 4ax en de lijn x = a in het eerste kwadrant.

Oplossing:

De curve en de gegeven lijn kunnen als volgt worden getekend:

Nu is de vergelijking van de curve y²= 4ax

Grenspunten blijken (0, 0) en (a, 0) te zijn

Het gebied ten opzichte van de X-as kan dus als volgt worden berekend:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Voorbeeld 5: Zoek het gebied dat wordt bedekt door cirkel x ² + en ² = 25 in het eerste kwadrant.

Oplossing:

Gegeven, x²+ en²= 25

Curve kan worden getekend als:

Het vereiste gebied is in de bovenstaande afbeelding gearceerd. Uit de vergelijking kunnen we zien dat de straal van de cirkel 5 eenheden is.

Zoals, x²+ en²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Om het gebied te vinden, gebruiken we:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 vierkante eenheden

Veelgestelde vragen over het gebied onder de curve

Definieer het gebied onder een curve.

Het gebied dat wordt omsloten door de curve, de as en de grenspunten wordt het gebied onder de curve genoemd. Met behulp van de coördinaatassen en de integratieformule is het gebied onder de curve bepaald als een tweedimensionaal gebied.

Hoe het gebied onder een curve berekenen?

Er zijn drie methoden om het gebied onder de curve te vinden, namelijk:

• Reimann-sommen omvatten het verdelen van de curve in kleinere rechthoeken en het optellen van de gebieden ervan, waarbij het aantal subintervallen de nauwkeurigheid van het resultaat beïnvloedt.
• Bepaalde integralen zijn vergelijkbaar met Reimann-sommen, maar gebruiken een oneindig aantal subintervallen om een ​​exact resultaat te verkrijgen.
• Benaderingsmethoden Er wordt gebruik gemaakt van bekende geometrische vormen om het gebied onder de curve te benaderen.

Wat is het verschil tussen een bepaalde integraal en een Reimann-som?

Het belangrijkste verschil tussen een bepaalde integraal en een Reimann-som is dat een bepaalde integraal het exacte gebied onder een bepaalde curve vertegenwoordigt, terwijl een Reimann-som de geschatte waarde van het gebied vertegenwoordigt en de nauwkeurigheid van de som afhangt van de gekozen partitiegrootte.

Kan het gebied onder de curve negatief zijn?

Als de curve zich onder de as bevindt of in de negatieve kwadranten van de coördinatenas ligt, is het gebied onder de curve negatief. Ook in dit geval wordt het gebied onder de curve berekend met behulp van de conventionele aanpak, en wordt de oplossing vervolgens gemoduleerd. Zelfs in gevallen waarin het antwoord negatief is, wordt alleen rekening gehouden met de waarde van het gebied, en niet met het negatieve teken van het antwoord.

Wat vertegenwoordigt het gebied onder de curve in de statistieken?

Area under curve (ROC) is de maatstaf voor de nauwkeurigheid van een kwantitatieve diagnostische test.

Hoe interpreteer je het teken van het gebied onder een curve?

Het teken van het gebied geeft aan dat het gebied onder de curve zich boven de x-as of onder de x-as bevindt. Als de oppervlakte positief is, ligt de oppervlakte onder de curve boven de x-as en als deze negatief is, ligt de oppervlakte onder de curve onder de x-as.

Hoe wordt het gebied onder de curve geschat?

Door het gebied in kleine rechthoeken te segmenteren, kan het gebied onder de curve ruwweg worden geschat. En door de oppervlakten van deze rechthoeken bij elkaar op te tellen, kan men de oppervlakte onder de curve verkrijgen.