Er wordt gezegd dat een grafiek vlak is als deze in een vlak kan worden getekend, zodat geen randen elkaar kruisen.

Voorbeeld: De grafiek in figuur is een vlakke grafiek.

Indiase actrice Rani Mukerji

Regio van een grafiek: Beschouw een vlakke grafiek G=(V,E). Een gebied wordt gedefinieerd als een gebied van het vlak dat wordt begrensd door randen en niet verder kan worden onderverdeeld. Een vlakke grafiek verdeelt de plannen in een of meer regio's. Eén van deze regio's zal oneindig zijn.

Eindige regio: Als de oppervlakte van het gebied eindig is, wordt dat gebied een eindig gebied genoemd.

Oneindige regio: Als de oppervlakte van het gebied oneindig is, wordt dat gebied een oneindig gebied genoemd. Een vlakke grafiek heeft slechts één oneindig gebied.

Voorbeeld: Beschouw de grafiek in figuur. Bepaal het aantal regio's, eindige regio's en een oneindige regio.

Oplossing: Er zijn vijf regio's in de bovenstaande grafiek, d.w.z. r₁,R₂,R₃,R₄,R₅.

Er zijn vier eindige gebieden in de grafiek, namelijk r₂,R₃,R₄,R₅.

Er is slechts één eindig gebied, namelijk r₁

Eigenschappen van vlakke grafieken:

1. Als een verbonden vlakke grafiek G e-randen en r-gebieden heeft, dan is r ≦ Het is.
2. Als een verbonden vlakke graaf G e randen, v hoekpunten en r gebieden heeft, dan is v-e+r=2.
3. Als een verbonden vlakke grafiek G e randen en v hoekpunten heeft, dan is 3v-e≧6.
4. Een volledige grafiek K_Nis vlak als en slechts dan als n<5.< li>
5. Een volledige bipartiete grafiek K_mnis vlak als en slechts als m3.

Voorbeeld: Bewijs dat volledige grafiek K₄is vlak.

Oplossing: De volledige grafiek K₄bevat 4 hoekpunten en 6 randen.

We weten dat voor een verbonden vlakke graaf 3v-e≧6 geldt. Vandaar voor K₄, we hebben 3x4-6=6 die voldoet aan de eigenschap (3).

onderstrepen met css

Dus K₄is een vlakke grafiek. Vandaar bewezen.

Niet-vlakke grafiek:

Er wordt gezegd dat een grafiek niet vlak is als deze niet in een vlak kan worden getekend, zodat er geen randen kruisen.

Voorbeeld: De in figuur weergegeven grafieken zijn niet-vlakke grafieken.

Deze grafieken kunnen niet in een vlak worden getekend, zodat geen randen elkaar kruisen. Daarom zijn het niet-vlakke grafieken.

Eigenschappen van niet-vlakke grafieken:

Een grafiek is niet-vlak als en slechts als deze een subgraaf bevat die homeomorf is met K₅of K_3.3

alfabet in cijfers

Voorbeeld 1: Laat zien dat K₅is niet vlak.

Oplossing: De volledige grafiek K₅bevat 5 hoekpunten en 10 randen.

Voor een verbonden vlakke grafiek geldt nu 3v-e≧6.

Daarom voor K₅, hebben we 3 x 5-10=5 (wat niet voldoet aan eigenschap 3 omdat deze groter dan of gelijk moet zijn aan 6).

Zo, K₅is een niet-vlakke grafiek.

Voorbeeld2: Laat zien dat de grafieken in figuur niet vlak zijn door een subgraaf te vinden die homeomorf is met K₅of K_3.3.

Oplossing: Als we de randen verwijderen (V₁,IN₄),(IN₃,IN₄) en (V₅,IN₄) de grafiek G₁, wordt homeomorf met K₅Daarom is het niet vlak.

Als we de rand V_{2, V}7) de grafiek G₂wordt homeomorf met K_3.3Daarom is het niet vlak.

Grafiekkleuring:

Stel dat G= (V,E) een grafiek is zonder meerdere randen. Een hoekpuntkleuring van G is een toewijzing van kleuren aan de hoekpunten van G, zodat aangrenzende hoekpunten verschillende kleuren hebben. Een graaf G is M-kleurbaar als er een kleuring van G bestaat die M-kleuren gebruikt.

Juiste kleuring: Een kleuring is juist als twee aangrenzende hoekpunten u en v verschillende kleuren hebben, anders wordt dit onjuiste kleuring genoemd.

Voorbeeld: Beschouw de volgende grafiek en kleur C={r, w, b, y}. Kleur de grafiek op de juiste manier met alle kleuren of minder kleuren.

De grafiek in figuur is minimaal 3-kleurbaar, dus x(G)=3

Oplossing: Fig toont de grafiek op de juiste manier gekleurd met alle vier de kleuren.

Fig toont de grafiek correct gekleurd met drie kleuren.

Chromatisch aantal G: Het minimum aantal kleuren dat nodig is om een ​​goede kleuring van een grafiek G te verkrijgen, wordt het chromatische getal van G genoemd en wordt aangegeven met x(G).

watermerk in woord

Voorbeeld: Het chromatische getal van K_Nis n.

Oplossing: Een kleuring van K_Nkan worden geconstrueerd met behulp van n kleuren door aan elk hoekpunt verschillende kleuren toe te wijzen. Er kunnen geen twee hoekpunten dezelfde kleur krijgen, omdat elke twee hoekpunten van deze grafiek aangrenzend zijn. Vandaar het chromatische getal van K_N=n.

Toepassingen van grafiekkleuren

Enkele toepassingen van grafiekkleuring zijn onder meer:

• Toewijzing registreren
• Kaart kleuren
• Bipartiete grafiekcontrole
• Toewijzing van mobiele radiofrequenties
• Een tijdschema maken, enz.

Stel en bewijs de Handshaking-stelling.

Handshaking-stelling: De som van de graden van alle hoekpunten in een grafiek G is gelijk aan tweemaal het aantal randen in de grafiek.

Wiskundig kan het als volgt worden uitgedrukt:

∑_v∈Vgraden(v)=2e

Bewijs: Laat G = (V, E) een grafiek zijn waarin V = {v₁,in₂, . . . . . . . . . .} de verzameling hoekpunten zijn en E = {e₁,Het is₂. . . . . . . . . .} de reeks randen zijn. We weten dat elke rand tussen twee hoekpunten ligt, dus het geeft graad één aan elk hoekpunt. Daarom draagt ​​elke rand graad twee bij aan de grafiek. Dus de som van de graden van alle hoekpunten is gelijk aan tweemaal het aantal randen in G.

Vandaar ∑_v∈Vgraden(v)=2e

Java-standaardparameters