Evenwijdige lijnen in de wiskunde zijn paren lijnen die elkaar altijd onder een rechte hoek snijden, dat wil zeggen dat loodrechte lijnen altijd snijdende lijnen zijn die elkaar onder een hoek van 90 ° snijden. De loodrechte lijnen zijn voor ons gemakkelijk te zien, de hoeken van de muren, de hoeken van het bureau en andere vertegenwoordigen de parallelle lijn. Voor loodrechte lijnen zeggen we dat ze elkaar loodrecht snijden. De kortste afstand tussen twee lijnen wordt gegeven met behulp van de loodrechte afstand ertussen, dat wil zeggen dat de loodrechte lijn tussen twee punten de kortste afstand daartussen geeft.

In dit artikel zullen we in detail leren over loodrechte lijnen, hun eigenschappen en andere.

Inhoudsopgave

• Wat zijn loodrechte lijnen?
• Eigenschappen van loodrechte lijnen
• Helling van loodrechte lijnen
• Formule voor loodrechte lijnen
• Hoe loodrechte lijnen te tekenen?
• Loodrechte lijnvergelijking

Wat is loodrecht?

Loodrecht wordt gedefinieerd als een lijn die a maakt juiste hoek met een andere lijn. Met andere woorden: loodrechte lijn betekent de lijnen die een hoek van 90 graden maken. De kortste afstand tussen het punt en de lijn is de loodrechte lijn daartussen. Een loodlijn maakt 90 graden met de andere lijn. De lijn AB en PQ zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding staan ​​loodrecht op elkaar omdat ze elkaar onder een hoek van 90 graden snijden.

De lijn AB en CD die in de onderstaande afbeelding zijn toegevoegd, tonen twee loodrechte lijnen.

Wat zijn loodrechte lijnen?

Loodrechte lijnen betekent de lijnen die elkaar snijden onder een hoek gelijk aan 90 graden. Dat wil zeggen dat als twee lijnen elkaar in een rechte hoek ontmoeten, ze loodrechte lijnen worden genoemd. Neem het onderstaande figuur, de lijn l en lijn m snijden elkaar in punt O en de hoek die ze maken is 90 graden.

We kunnen dus zeggen dat l een lijn is die loodrecht staat op m lijn of dat lijn m loodrecht staat op lijn l. We stellen deze voorwaarde voor als: l ⊥ m. Nu staat elke lijn evenwijdig aan lijn l loodrecht op de lijn m. De kortste afstand tussen het punt en de lijn is altijd de loodrechte afstand daartussen.

Opmerking: Niet alle snijdende lijnen zijn loodrechte lijnen, maar alle loodrechte lijnen zijn snijdende lijnen.

Loodrecht teken

Loodrechte lijnen worden weergegeven met het symbool ‘⊥‘. Als de lijnen l en m loodrecht op elkaar staan, dat wil zeggen dat ze elkaar onder een hoek van 90 graden snijden, worden ze loodrechte lijnen genoemd en worden ze weergegeven als l ⊥ m. Het snijpunt wordt de voet van de loodlijn genoemd.

Loodrechte vormen

Prependiculaire vormen zijn overal om ons heen te zien in ons dagelijks leven. Onder loodrechte vormen vallen de vormen waarbij de ten minste ene hoek 90° is. Verschillende vormen met loodrechte lijnen (loodrechte vormen) zijn,

• Vierkant
• Rechthoek
• Rechthoekige driehoek

Eigenschappen van loodrechte lijnen

Elke twee elkaar kruisende lijnen die elkaar kruisen onder een hoek van 90 graden, worden loodrechte lijnen genoemd. Loodrechte lijnen hebben andere eigenschappen dan de snijdende lijnen en de algemene eigenschappen van de snijdende lijnen zijn:

• Loodrechte lijnen zijn de lijnen die elkaar altijd onder een rechte hoek snijden.
• Als twee lijnen loodrecht op dezelfde lijn staan, dan zijn deze twee lijnen altijd evenwijdig aan elkaar.

Helling van loodrechte lijnen

De helling van elke lijn is de kleur van de hoek gevormd door de lijn met de positieve x-as, en de helling in het geval van de loodrechte lijnen heeft een bijzondere relatie daartussen.

Stel dat we twee lijnen PQ en RS hebben die loodrecht op elkaar staan. De helling van lijn PQ is nu m₁en de helling van lijn RS is bijvoorbeeld m₂, dan is het product van de hellingen gelijk aan -1. De verklaring hiervoor is:

Stelling: Twee lijnen staan ​​loodrecht op elkaar als het product van hun helling -1 is.

Dit kan worden weergegeven als,

M ₁ .M ₂ = -1

Formule voor loodrechte lijnen

De twee basisformules voor loodrechte lijnen worden hieronder besproken,

Verklaring 1: Het product van de helling van een loodrechte lijn met de helling van de oorspronkelijke lijn is altijd -1 .

Bewijs:

Laat de oorspronkelijke lijn een hoek θ maken met de X-as.

De lijn loodrecht op de lijn maakt dan een hoek van θ + 90° of θ – 90° met de X-as.

Nu is de helling van de oorspronkelijke lijn gelijk aan tan θ

veer modules

De helling van de loodrechte lijn is gelijk aan tan (θ + 90^O) of bruin (θ – 90^O)

bruin (θ + 90 ^O ) = bruin (θ – 90 ^O ) = -kinderbed i

De helling van de loodrechte lijn is dus -cot θ

Nu,

Product van hellingen = bruin θ × (-cot θ) = -1

Vandaar bewezen

Verklaring 2: Als de vergelijking van een lijn is bijl + door + c = 0

Dan is de vergelijking van een lijn loodrecht op de gegeven lijn:

– bx + ay + d = 0

waar, C En D zijn eventuele constante waarden

Bewijs:

Lijnvergelijking is ax + by + c = 0

Helling van de lijn is -a/b

Stel dat de helling van de loodrechte lijn m is

We weten dat het product van de helling van twee loodrechte lijnen -1 is

m × (-a / b) = – 1

m = z / een

Als de loodlijn nu door een punt (x₁, En₁), dan is de vergelijking van de loodlijn:

(en en₁) / (x – x₁) = z / een

en en₁= (b / a) × (x – x₁)

is – is₁= bx – bx₁

– bx + is + (bx₁- is₁) = 0 {laat bx₁- is₁= d}

De vereiste vergelijking van de lijn is dus:

– bx + ay + d = 0

Hoe loodrechte lijnen te tekenen?

We kunnen het paar van de loodrechte lijn gemakkelijk construeren door de gradenboog en het kompas te gebruiken.

Loodrechte lijnen tekenen met behulp van de gradenboog

Voor het tekenen van een paar loodrechte lijnen volgt u de onderstaande stappen:

Stap 1: Teken eerst met een liniaal een horizontale lijn AB op het papier.

Stap 2: Markeer een punt P op lijn AB van waaruit we de loodrechte lijn moeten tekenen.

Stap 3: Plaats de beschermer op de lijn en zorg ervoor dat het middelpunt van de beschermer overeenkomt met punt P op de lijn.

Stap 4: Markeer de hoek van 90 graden met behulp van de beschermer.

Stap 5: Verbind de lijn met behulp van een liniaal met een hoek van 90 graden, om een ​​paar loodrechte lijnen te krijgen.

Loodrechte lijn tekenen met behulp van kompas

Hieronder volgen de stappen om loodrechte lijnen te maken met behulp van een kompas

Stap 1: Teken een lijn op het papier met behulp van een liniaal

Stap 2: Neem een ​​punt op de lijn en plaats de naald van het kompas erop.

Stap 3: Teken een boog (een halve cirkel) aan één kant van de lijn.

Stap 4: Zonder de straal van het kompas te veranderen, plaatst u nu de naald op het ene uiteinde van de diameter van de halve cirkel.

Stap 5: Snijd de halfronde boog in drieën door deze twee keer door te snijden. De eerste snede markeert 60° en de tweede snede markeert 120°

Stap 6: Er is een verschil van 60° tussen de eerste en de tweede snede. Snijd deze opening in tweeën met behulp van het kompas zonder de straal te veranderen.

Stap 7: Verbind nu het snijpunt van 60 en 120 met het punt waarvan aanvankelijk werd aangenomen dat het de halfronde boog tekende.

Stap 8: De aldus getekende lijn staat loodrecht op de beginlijn.

Voorbeelden van loodrechte lijnen

Loodrechte lijnen zijn de lijnen die elkaar altijd onder een hoek van 90 graden ontmoeten. We zien verschillende voorbeelden van parallelle lijnen in het echte leven, sommige daarvan zijn:

• De hoeken van de kamers staan ​​loodrecht op elkaar.
• De wijzers van de klok vertegenwoordigen loodrechte lijnen op 3 uur.
• De hoeken van de tafel en het bureau vertegenwoordigen de loodrechte lijnen.

Loodrechte en parallelle lijnen

Loodrechte lijnen zijn de lijnen die een hoek van 90 ° met elkaar maken, terwijl parallelle lijnen de lijnen zijn die evenwijdig aan elkaar zijn, dat wil zeggen dat ze op gelijke afstand van elkaar liggen en elkaar nooit snijden.

Opmerking: Parallelle lijnen ontmoeten elkaar bij Infinity .

Helling van parallelle en loodrechte lijnen

De helling van evenwijdige lijnen is gelijk, terwijl het product van de helling van loodrechte lijnen -1 is.

Vergelijkingen van parallelle en loodrechte lijnen

Als twee lijnen evenwijdig zijn, dan is hun vergelijking van lijnen:

• bijl + bij + c = 0 en bijl + bij + d = 0

Terwijl de vergelijking van twee loodrechte punten is,

• ax + bij + c = 0, en -bx + ax + d = 0

Wat zijn parallelle lijnen?

Parallelle lijnen in de geometrie worden gedefinieerd als de lijnen die elkaar niet ontmoeten in het 2D-vlak, dat wil zeggen dat ze elkaar nooit kruisen in het 2D-vlak. De afstand tussen de twee parallelle lijnen is altijd constant. De onderstaande afbeelding toont twee paar parallelle lijnen.

De lijnen a, b, en x, en y zijn evenwijdig aan elkaar.

Verschil tussen parallelle lijnen en loodrechte lijnen

Parallelle lijnen versus loodrechte lijnen worden besproken in de onderstaande tabel.

Loodrechte lijnvergelijking

De standaard vergelijking van een lijn is bijl + door + c = 0 en de lijn loodrecht op de gegeven lijn wordt gegeven met behulp van:

-bx + ay + d = 0

waar, D is de constante waarde en de waarde ervan wordt gevonden door de andere gegeven voorwaarde te gebruiken.

Loodrechte lijnhelling

Stel dat we een lijn krijgen waarvan de vergelijking de vorm y = mx + c heeft en de helling ervan is m, dan is de helling van de lijn loodrecht op de gegeven lijn:

Helling van loodrechte lijn = -1/m

Als de helling van twee lijnen nu m is₁en M₂dan is de relatie tussen deze twee hellingen, M ₁ M ₂ = -1

Lees verder,

• Parallelle lijnen
• Transversale lijnen
• Eigenschappen van parallelle lijnen

Voorbeelden van loodrechte lijnen

Voorbeeld 1: Staan de lijnen 3x + 2y + 5 = 0 en 2x – 3y + 8 = 0 loodrecht?

Oplossing:

Helling van de lijn ax + by + c = 0 is -a/b

• Helling van de lijn 3x + 2y + 5 = 0 is m₁= – 3 / 2.
• Helling van de lijn 2x – 3y + 8 = 0 is m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

We weten dat lijnen loodrecht staan ​​als hun hellingen aan de voorwaarde voldoen.

M₁× m₂= -1

Nu vanuit de bovenstaande voorwaarde,

= (- 3 / 2) × (2 / 3)

= -1

Het product van de hellingen is -1 en dus staan ​​de lijnen loodrecht.

Voorbeeld 2: Zoek de lijn loodrecht op de lijn x + 2y + 5 = 0 en ga door het punt (2, 5).

Oplossing:

We weten dat de vergelijking van een lijn loodrecht op de lijn ax + by + c = 0 gelijk is aan – bx + ay + d = 0.

Gegeven lijnvergelijking is x + 2y + 5 = 0

Als we de lijn x + 2y + 5 = 0 vergelijken met ax + by + c = 0 krijgen we:

• een = 1
• b = 2
• c = 5

De vergelijking van elke lijn loodrecht op deze lijn is dus: – 2x + y + d = 0…(i)

Gegeven, deze lijn gaat door (2, 5),

Plaats dus (2, 5) in deze vergelijking van de loodrechte lijn

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Als we de waarde van d in eq(i) vervangen, krijgen we

-2x + y + (-1) = 0

De vergelijking van de loodrechte lijn is dus -2x + y – 1 = 0

Voorbeeld 3: Zoek de helling van de lijn loodrecht op de lijn 3x + 9y + 7 = 0.

Oplossing:

Gegeven,

Vergelijking van de lijn is 3x + 9y + 7 = 0

Helling van deze lijn = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Laat de helling van ine loodrecht op de bovenstaande lijn m zijn

Gebruik nu de formule voor de loodrechte lijn

m× (- 1 / 3) = – 1

⇒ m = 3

De helling van de lijn loodrecht op de gegeven lijn is dus 3.

Voorbeeld 4: Zoek de hoek van een lijn loodrecht op de lijn x + y + 3 = 0.

Oplossing:

Gegeven lijn,

x + y + 3 = 0

Helling van gegeven lijn = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Laten we zeggen dat de helling van de lijn loodrecht op de bovenstaande lijn m is

Uit de loodrechte lijnformule,

m× -1 = – 1

⇒ m = 1

De hoek van de lijn loodrecht op de gegeven lijn is dan θ

m = bruin θ

⇒ bruinen θ = 1

⇒ θ = bruin^-1(1) = 45°

Daarom is de hoek gemaakt door de loodrechte lijn met de X-as gelijk aan 45°.

Loodrechte oefenproblemen

Q1. Zoek de hoek van een lijn loodrecht op de lijn 3x + 9y – 11 = 0.

Vraag 2. Als een lijn door de punten (11, –4) en (–1, 8) gaat en een andere lijn door de punten (8, 3) en (–1, -3). Controleer of deze lijnen evenwijdig of loodrecht zijn.

Q3. Zoek de vergelijking voor de lijn die loodrecht staat op 5x − 7y = 5 en door punt (-1, 8) gaat.

Q4. Zoek de vergelijking van de lijn die door (2, 3) gaat en loodrecht op de x-as staat.

Loodrechte lijnen – Veelgestelde vragen

Wat zijn de loodrechte lijnen?

Als twee elkaar snijdende lijnen elkaar onder een rechte hoek snijden, dat wil zeggen onder een hoek van 90 graden, worden deze twee lijnen loodrechte lijnen genoemd.

Wat zijn parallelle en loodrechte lijnen?

Parallelle lijnen zijn de lijnen die elkaar niet ontmoeten in het 2D-vlak. De afstand tussen twee parallelle lijnen is altijd constant. Terwijl als twee lijnen elkaar onder een hoek van 90 graden ontmoeten, deze lijnen loodrechte lijnen worden genoemd.

Staan kruisende lijnen altijd loodrecht?

Nee, niet alle snijdende lijnen staan ​​altijd loodrecht; ze kunnen wel of niet loodrecht staan. De kruisende lijnen kunnen elkaar onder verschillende hoeken ontmoeten.

Wat is de voorwaarde voor de helling van loodrechte lijnen?

Stel dat de helling van twee lijnen m is₁en M₂dan is de toestand van de hellingen van twee loodrechte lijnen: M ₁ .M ₂ = -1

Hoeveel loodrechte lijnen kunnen op een lijn worden getekend?

We kunnen een willekeurig aantal loodrechte lijnen op een lijn tekenen, dat wil zeggen dat we oneindig veel loodrechte lijnen op elke lijn kunnen hebben.

Wanneer staan ​​twee lijnen loodrecht?

Twee lijnen staan ​​loodrecht als ze elkaar onder een hoek van 90° snijden, d.w.z. loodrechte lijnen snijden elkaar altijd onder een rechte hoek.

Wat is een loodrechte driehoek?

Een driehoek met een hoek gelijk aan 90° wordt de loodrechte driehoek genoemd. Het wordt ook wel de rechthoekige driehoek genoemd.

Wat zijn enkele loodrechte vormen?

Sommige vormen die de loodrechte vormen worden genoemd, zijn de vormen met ten minste één loodrechte lijn. Verschillende voorbeelden van de loodrechte vormen zijn: Vierkant, Rechthoek, Rechthoekige driehoek

Wat zijn loodrechte hoeken?

De hoeken die gelijk zijn aan 90° worden loodrechte hoeken genoemd. De andere naam voor de loodrechte hoeken is Rechte hoeken.

Wat is het loodrechte symbool?

Het symbool of teken dat loodrecht vertegenwoordigt, is: ⟂. We gebruiken dit symbool om aan te geven of twee lijnen loodrecht staan. Als bijvoorbeeld A⟂B wordt geschreven, waarbij A en B twee lijnen zijn, dan staat lijn A loodrecht op lijn B en omgekeerd.

Hoe bepaal je welke lijnen loodrecht zijn?

Als de hoek tussen twee lijnen 90° is. Dan kunnen we zeggen dat deze twee lijnen loodrecht staan. Als de helling van de twee lijnen wordt gegeven als m₁, M₂Vervolgens gebruiken we de loodrechte lijnformule om te bepalen of ze loodrecht staan ​​of niet. De formule voor de loodrechte lijn is m₁.M₂= -1

Hoe de helling van de loodrechte lijnen te vinden?

De helling van de loodrechte lijnen kan eenvoudig worden berekend met behulp van de hellingsformule. Stel dat we een lijn krijgen, dan converteren we deze eerst in de standaardvorm en gebruiken dan de hellingsformule om de helling te vinden. De formule voor de helling is: m = -b/a, waarbij a de coëfficiënt van x is en b de coëfficiënt van y.