Permutatie en combinatie zijn de meest fundamentele concepten in de wiskunde en met deze concepten wordt een nieuwe tak van de wiskunde geïntroduceerd bij studenten, namelijk combinatoriek. Permutatie en combinatie zijn de manieren om een ​​groep objecten te ordenen door ze in een specifieke volgorde te selecteren en hun subsets te vormen.

Om groepen gegevens in een specifieke volgorde te ordenen, worden permutatie- en combinatieformules gebruikt. Het selecteren van de gegevens of objecten uit een bepaalde groep heet permutatie, terwijl de volgorde waarin ze zijn gerangschikt een combinatie wordt genoemd.

Permutaties en combinaties

In dit artikel zullen we het concept van permutatie en combinatie en hun formules bestuderen, en deze ook gebruiken om veel voorbeeldproblemen op te lossen.

Inhoudsopgave

• Permutatie betekenis
• Combinatie betekenis
• Afleiding van permutatie- en combinatieformules
• Verschil tussen permutatie en combinatie
• Opgeloste voorbeelden van permutatie en combinatie

Permutatie betekenis

Permutatie zijn de verschillende interpretaties van een bepaald aantal componenten die één voor één, of enkele, of allemaal tegelijk worden gedragen. Als we bijvoorbeeld twee componenten A en B hebben, zijn er twee waarschijnlijke uitvoeringen, AB en BA.

Een aantal permutaties wanneer ‘r’-componenten worden gepositioneerd op een totaal van ‘n’-componenten is ^N P _R . Stel bijvoorbeeld dat n = 3 (A, B en C) en r = 2 (alle permutaties van maat 2). Dan zijn er ³ P ₂ dergelijke permutaties, wat gelijk is aan 6. Deze zes permutaties zijn AB, AC, BA, BC, CA en CB. De zes permutaties van A, B en C, drie tegelijk genomen, worden weergegeven in de onderstaande afbeelding:

Permutatie betekenis

Permutatie formule

Permutatie formule wordt gebruikt om het aantal manieren te vinden om te kiezen R dingen uit N verschillende dingen in een specifieke bestelling en vervanging is niet toegestaan ​​en wordt als volgt gegeven:

Permutatie formule

Uitleg van de permutatieformule

Zoals we weten is permutatie een rangschikking van r dingen uit n waarbij de volgorde van rangschikking belangrijk is (AB en BA zijn twee verschillende permutaties). Als er drie verschillende cijfers 1, 2 en 3 zijn en als iemand nieuwsgierig is om de cijfers te verwisselen, waarbij 2 tegelijk wordt weergegeven, wordt weergegeven (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3 ), (3, 1) en (3, 2). Dat wil zeggen dat het op 6 manieren kan worden bereikt.

Hier zijn (1, 2) en (2, 1) verschillend. Nogmaals, als deze 3 cijfers allemaal tegelijk worden verwerkt, dan zijn de interpretaties (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1). ), (3, 1, 2) en (3, 2, 1), d.w.z. op 6 manieren.

Over het algemeen kunnen n verschillende dingen worden ingesteld door r (r^eding kan elk van de overige n – (r – 1) dingen zijn.

Daarom is het gehele aantal permutaties van n verschillende dingen die r tegelijk dragen n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)], wat wordt geschreven als^NP_R. Of, met andere woorden,

arrays retourneren in Java

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Combinatie betekenis

Het zijn de afzonderlijke secties van een gedeeld aantal componenten die één voor één, of enkele, of allemaal tegelijk worden gedragen. Als er bijvoorbeeld twee componenten A en B zijn, dan is er maar één manier om twee dingen te selecteren: selecteer ze allebei.

Stel bijvoorbeeld dat n = 3 (A, B en C) en r = 2 (alle combinaties van maat 2). Dan zijn er ³ C ₂ dergelijke combinaties, wat gelijk is aan 3. Deze drie combinaties zijn AB, AC en BC.

Hier de combinatie van twee willekeurige letters van de drie letters A, B en C die hieronder worden weergegeven, merken we dat in combinatie de volgorde waarin A en B worden genomen niet belangrijk is, aangezien AB en BA dezelfde combinatie vertegenwoordigen.

Combinatie betekenis

Opmerking: In hetzelfde voorbeeld hebben we verschillende punten voor permutatie en combinatie. Want AB en BA zijn twee verschillende items, dat wil zeggen twee verschillende permutaties, maar voor het selecteren zijn AB en BA hetzelfde, dat wil zeggen dezelfde combinatie.

Combinatieformule

Combinatieformule wordt gebruikt om ‘r’-componenten te kiezen uit een totaal aantal ‘n’-componenten, en wordt gegeven door:

Combinatieformule

Als we de bovenstaande formule voor r en (n-r) gebruiken, krijgen we hetzelfde resultaat. Dus,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Uitleg van de combinatieformule

Combinatie daarentegen is een soort pakket. Nogmaals, als van deze drie getallen 1, 2 en 3 sets worden gemaakt met twee getallen, zijn de combinaties (1, 2), (1, 3) en (2, 3).

Hier zijn (1, 2) en (2, 1) identiek, in tegenstelling tot permutaties waarbij ze verschillend zijn. Dit is geschreven als³C₂. Over het algemeen is het aantal combinaties van n verschillende dingen dat r tegelijk wordt genomen,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Afleiding van permutatie- en combinatieformules

We kunnen deze permutatie- en combinatieformules afleiden met behulp van de basistelmethoden, aangezien deze formules hetzelfde vertegenwoordigen. De afleiding van deze formules is als volgt:

Afleiding van permutatieformule

Permutatie is het selecteren van r verschillende objecten uit n objecten zonder vervanging en waarbij de volgorde van selectie belangrijk is, krijgen we door de fundamentele stelling van tellen en de definitie van permutatie

P (n, r) = n. (n-1). (n-2). (n-3). . . . .(n-(r+1))

Door hierboven te vermenigvuldigen en te delen met (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, we krijgen

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Zo wordt de formule voor P (n, r) afgeleid.

Afleiding van combinatieformule

Combinatie is het kiezen van r items uit n items waarbij de volgorde van selectie niet van belang is. De formule wordt berekend als:

C(n, r) = Totaal aantal permutaties/aantal manieren om r verschillende objecten te rangschikken.
[Aangezien we door de fundamentele stelling van het tellen weten dat het aantal manieren om r verschillende objecten op r manieren te ordenen = r!]

C(n,r) = P(n,r)/r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Zo wordt de formule voor combinatie, d.w.z. C(n, r), afgeleid.

Verschil tussen permutatie en combinatie

Verschillen tussen permutatie en combinatie kan worden begrepen aan de hand van de volgende tabel:

Controleer ook,

• Binomiale stelling
• Binomiale expansie
• Binomiale willekeurige variabelen
• Fundamentele stelling van tellen

Opgeloste voorbeelden van permutatie en combinatie

Voorbeeld 1: Vind het aantal permutaties en combinaties van n = 9 en r = 3 .

Oplossing:

Gegeven, n = 9, r = 3

Met behulp van de hierboven gegeven formule:

Voor permutatie:

^NP_R= (n!) / (n – r)!

⇒^NP_R= (9!) / (9 – 3)!

⇒^NP_R= 9! /6! = (9×8×7×6!)/ 6!

⇒ ^N P _R = 504

Voor combinatie:

^NC_R= n!/r!(n − r)!

⇒^NC_R= 9!/3!(9 − 3)!

⇒^NC_R= 9!/3!(6)!

⇒^NC_R= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ^N C _R = 84

Voorbeeld 2: Op hoeveel manieren kan een commissie bestaande uit 4 mannen en 2 vrouwen gekozen worden uit 6 mannen en 5 vrouwen?

Oplossing:

Kies 4 mannen uit 6 mannen =⁶C₄manieren = 15 manieren

Kies 2 vrouwen uit 5 vrouwen =⁵C₂manieren = 10 manieren

De commissie kan gekozen worden⁶C₄×⁵C₂= 150 manieren.

Voorbeeld 3: Op hoeveel manieren kunnen 5 verschillende boeken op een plank worden gerangschikt?

Oplossing:

Dit is een permutatieprobleem omdat de volgorde van de boeken ertoe doet.

Met behulp van de permutatieformule krijgen we:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Er zijn dus 120 manieren om 5 verschillende boeken op een plank te plaatsen.

Voorbeeld 4: Hoeveel woorden van drie letters kunnen worden gevormd met de letters van het woord FABLE?

Oplossing:

Dit is een permutatieprobleem omdat de volgorde van de letters ertoe doet.

Met behulp van de permutatieformule krijgen we:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Daarom zijn er 60 woorden van drie letters die kunnen worden gevormd met behulp van de letters van het woord FABLE.

Voorbeeld 5: Uit een groep van 10 personen moet een commissie van 5 leden worden gevormd. Op hoeveel manieren kan dit gedaan worden?

Oplossing:

Dit is een combinatieprobleem omdat de volgorde van de leden er niet toe doet.

Met behulp van de combinatieformule krijgen we:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Er zijn dus 252 manieren om uit een groep van 10 personen een commissie van 5 leden te vormen.

Voorbeeld 6: Een pizzarestaurant biedt 4 verschillende toppings voor hun pizza's. Als een klant een pizza met precies 2 toppings wil bestellen, op hoeveel manieren kan dat dan?

Oplossing:

Dit is een combinatieprobleem omdat de volgorde van de toppings er niet toe doet.

Met behulp van de combinatieformule krijgen we:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Er zijn dus 6 manieren om een ​​pizza met precies 2 toppings uit 4 verschillende toppings te bestellen.

Voorbeeld 7: Hoeveel woorden kunnen worden gemaakt door twee letters van de termLOVE te gebruiken?

Oplossing:

Hoe tekenreeks naar Java met gehele getallen te converteren

De term LIEFDE heeft 4 verschillende letters.

Daarom vereist aantal woorden =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Vereist aantal woorden = 4! / 2! = 24/2

⇒ Vereist aantal woorden = 12

Voorbeeld 8: Hoeveel woorden van 3 medeklinkers en 2 klinkers kunnen van de 5 medeklinkers en 3 klinkers worden gevormd?

Oplossing:

Aantal manieren om 3 medeklinkers uit 5 = te kiezen⁵C₃

Aantal manieren om 2 klinkers te kiezen uit 3 =³C₂

Aantal manieren om 3 medeklinkers uit 2 en 2 klinkers uit 3 = te kiezen⁵C₃׳C₂

⇒ Vereist aantal = 10 × 3

= 30

Dit betekent dat we 30 groepen kunnen hebben waarbij elke groep in totaal 5 letters bevat (3 medeklinkers en 2 klinkers).

Aantal manieren om 5 letters onderling te rangschikken

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Het vereiste aantal manieren = 30 × 120

⇒ Vereist aantal manieren = 3600

Voorbeeld 9: Hoeveel verschillende combinaties krijg je als je 5 items hebt en er 4 kiest?

Oplossing:

Voer de gegeven getallen in de combinatievergelijking in en los op. n is het aantal items in de set (5 in dit voorbeeld); r is het aantal items dat u kiest (4 in dit voorbeeld):

C(n, r) = n! / R! (n – r)!

⇒^NC_R= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒^NC_R= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒^NC_R= 120/24

⇒^NC_R= 5

De oplossing is 5.

Voorbeeld 10: Hoeveel uitdrukkingen zijn er van de 6 medeklinkers en 3 klinkers? van 2 medeklinkers en 1 klinker kan worden gemaakt?

Oplossing:

Aantal manieren om 2 medeklinkers uit 6 = te selecteren⁶C₂

Aantal manieren om 1 klinkers uit 3 = te selecteren³C₁

Aantal manieren om 3 medeklinkers uit 7 en 2 klinkers uit 4 te selecteren.

⇒ Vereiste manieren =⁶C₂׳C₁

⇒ Vereiste manieren = 15 × 3

⇒ Vereiste manieren= 45

Dit betekent dat we 45 groepen kunnen hebben waarbij elke groep in totaal 3 letters bevat (2 medeklinkers en 1 klinkers).

Aantal manieren om 3 letters onderling te rangschikken = 3! = 3×2×1

⇒ Vereiste manieren om drie letters te rangschikken = 6

Het vereiste aantal manieren = 45 × 6

⇒ Vereiste wegen = 270

Voorbeeld 11: In hoeveel verschillende vormen Kunnen de letters van de term ‘PHONE’ zo worden georganiseerd dat de klinkers consistent zijn samen komen?

Oplossing:

Het woord ‘TELEFOON’ heeft 5 letters. Er zitten de klinkers ‘O’ en ‘E’ in en deze twee klinkers moeten consequent samen komen. Deze twee klinkers kunnen dus worden gegroepeerd en als één enkele letter worden beschouwd. Dat wil zeggen, PHN(OE).

Daarom kunnen we een totaal aantal letters nemen zoals 4 en al deze letters zijn verschillend.

Aantal methoden om deze letters te ordenen = 4! = 4×3×2×1

⇒ Vereiste manieren om letters te vormen = 24

Alle 2 klinkers (OE) zijn verschillend.

Aantal manieren om deze klinkers onderling te rangschikken = 2! = 2×1

⇒ Vereiste manieren om klinkers te rangschikken = 2

Het vereiste aantal manieren = 24 × 2

stl

⇒ Vereiste wegen = 48.

Veelgestelde vragen over permutaties en combinaties

Wat is de factoriële formule?

Factoriële formule wordt gebruikt voor de berekening van permutaties en combinaties. De faculteitsformule voor n! wordt gegeven als

N! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

Bijvoorbeeld 3! = 3 × 2 × 1 = 6 en 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Wat doet ^N C _R staan ​​voor?

^NC_Rvertegenwoordigt het aantal combinaties waaruit kan worden gemaakt N voorwerpen nemen R tegelijk.

Wat bedoel je met permutaties en combinaties?

Een permutatie is een handeling waarbij dingen in een specifieke volgorde worden gerangschikt. Combinaties zijn de manieren van selecteren R voorwerpen uit een groep N objecten, waarbij de volgorde van het gekozen object geen invloed heeft op de totale combinatie.

Schrijf voorbeelden van permutaties en combinaties.

Aantal woorden van drie letters dat kan worden gevormd door de letters van het woord te gebruiken: HALLO;⁵P₃= 5!/(5-3)! dit is een voorbeeld van een permutatie.
Aantal combinaties dat we de woorden kunnen schrijven met de klinkers van het woord HELLO;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], dit is een voorbeeld van een combinatie.

Schrijf de formule voor het vinden van permutaties en combinaties.

• Formule voor het berekenen van permutaties: ^N Pr = n!/(n-r)!
• Formule voor het berekenen van combinaties: ^N Cr = n!/[r! (n-r)!]

Schrijf enkele praktijkvoorbeelden van permutaties en combinaties.

Het sorteren van mensen, cijfers, letters en kleuren zijn enkele voorbeelden van permutaties.
Het selecteren van het menu, kleding en onderwerpen zijn voorbeelden van combinaties.

Wat is de waarde van 0!?

De waarde van 0! = 1, is erg handig bij het oplossen van permutatie- en combinatieproblemen.