Invoering

Sorteren is een essentiële handeling in de informatica waarbij elementen in een specifieke volgorde worden gerangschikt, zoals numerieke of alfabetische volgorde. Er zijn verschillende sorteeralgoritmen ontwikkeld, elk met tijd- en efficiëntie-indicatoren. Lineaire tijdsortering is een subset van sorteeralgoritmen met een aanzienlijk voordeel: ze kunnen een gegeven reeks elementen in lineaire tijd sorteren, de looptijd neemt lineair toe met de invoergrootte.

Het bekendste algoritme voor lineaire tijdsortering is de aflopende sortering. Computationeel sorteren is bijzonder efficiënt wanneer het bereik van invoerelementen bekend en relatief klein is. Dit elimineert de noodzaak om elementen te vergelijken, de belangrijkste tijdrovende bewerking bij veel andere sorteeralgoritmen. Met behulp van kennis van het invoerdomein bereikt computationeel sorteren een lineaire tijdscomplexiteit. Een numerieke sortering scant eerst de invoerarray om het aantal van elk element te bepalen. Vervolgens gebruikt het deze getallen om de juiste posities van de elementen in de geordende resultatentabel te berekenen. Het algoritme bestaat uit de volgende stappen:

1. Om het bereik te bepalen, identificeert u de minimum- en maximumwaarden van de invoerarray.
2. Maak een werkblad dat is geïnitialiseerd met de bereikgrootte en nullen.
3. Herhaal de invoerarray en verhoog elk gevonden element.
4. Pas het werkblad aan door het cumulatieve totaal te berekenen om de juiste posities voor elk element te verkrijgen.
5. Maak een uitvoerarray van dezelfde grootte als de invoerarray.
6. Verplaats de invoerarray opnieuw en plaats elk element op de juiste positie in de uitvoerarray op basis van het werkblad.
7. De resultatentabel bevat nu gesorteerde elementen.

Het belangrijkste voordeel van aflopend sorteren is dat het een lineaire tijdscomplexiteit van O(n) bereikt, waardoor het zeer efficiënt is voor grote invoergroottes. De toepasbaarheid ervan is echter beperkt tot scenario's waarin de keuze van de inputelementen vooraf bekend is en relatief klein is.

Het is belangrijk op te merken dat andere sorteeralgoritmen, zoals quicksort of merge, doorgaans een tijdscomplexiteit hebben van O(n log n), wat voor veel praktische toepassingen als efficiënt wordt beschouwd. Algoritmen voor lineaire tijdsortering, zoals numerieke sortering, bieden een alternatief wanneer bepaalde beperkingen of eigenschappen van de invoer het gebruik van lineaire tijdscomplexiteit mogelijk maken.

Geschiedenis

Algoritmen voor lineaire tijdsortering hebben een rijke geschiedenis in de informatica. De ontwikkeling van de lineaire tijdsorde gaat terug tot het midden van de 20e eeuw, en de bijdragen van wetenschappers en wiskundigen waren aanzienlijk. Een van de eerste algoritmen voor lineaire tijdsortering is de bucket-sort, voorgesteld door Harold H. Seward in 1954. Een bucket-sort verdeelt de invoerelementen in een eindig aantal buckets en sorteert vervolgens elke bucket afzonderlijk. Dit algoritme heeft een lineaire tijdscomplexiteit als de verdeling van invoerelementen relatief uniform is.

In 1959 introduceerde Kenneth E. Iverson een radix-algoritme dat lineaire tijdscomplexiteit bereikt. Radix sorteert elementen op basis van hun cijfers of tekens, van minst significant naar meest significant. Het maakt gebruik van robuuste sorteeralgoritmen, zoals numeriek of bucket-sorteren, om de elementen op elke cijferlocatie te sorteren. Radix-sortering werd populair in het tijdperk van ponskaarten en vroege computersystemen. Het bekendste algoritme voor lineaire tijdsortering is echter een opsomming, geïntroduceerd door Harold H. Seward en Peter Elias in 1954 en later onafhankelijk herontdekt door Harold H. 'Bobby' Johnson in 1961. Numerieke sortering heeft veel aandacht gekregen.

Dit is vooral effectief als het bereik aan invoerelementen bekend en relatief klein is. De geschiedenis van lineaire tijdsortering ging verder met de ontwikkeling van andere gespecialiseerde algoritmen. In 1987 stelde Hanan Samet bijvoorbeeld binaire distributieboomsortering voor, een lineair tijdsorteringsalgoritme voor multidimensionale gegevens. Door de jaren heen zijn onderzoekers lineaire planningsalgoritmen blijven bestuderen en verbeteren, waarbij ze zich concentreerden op specifieke scenario's en beperkingen. Hoewel algoritmen zoals quicksort en merge op grotere schaal worden gebruikt vanwege hun efficiëntie in meer scenario's, bieden lineaire tijdsorteringsalgoritmen waardevolle alternatieven wanneer bepaalde omstandigheden het mogelijk maken dat de lineaire tijdcomplexiteit wordt uitgebuit. Over het algemeen wordt de geschiedenis van lineaire tijdsortering gekenmerkt door het zoeken naar efficiënte algoritmen die grote datasets in lineaire tijd kunnen sorteren, waardoor de beperkingen van op vergelijkingen gebaseerde sorteeralgoritmen worden overwonnen. De bijdragen van verschillende onderzoekers maakten de weg vrij voor het ontwikkelen en begrijpen van deze gespecialiseerde sorteertechnieken.

Soorten lineaire tijdsortering

Er zijn verschillende lineaire tijdsorteringsalgoritmen. De twee belangrijkste typen zijn op tellingen gebaseerde algoritmen en op radix gebaseerde algoritmen. Hier zijn de meest voorkomende algoritmen voor lineaire tijdsortering, geclassificeerd op basis van de volgende typen:

Op tellen gebaseerde algoritmen

Op tellen gebaseerde sortering:Counting-Based is een niet-vergelijkend sorteeralgoritme. Het telt het voorkomen van elk specifiek element in de invoerarray en gebruikt deze informatie om de juiste positie van elk element in de gesorteerde uitvoerarray te bepalen. Bij op tellen gebaseerd sorteren wordt ervan uitgegaan dat de invoerelementen gehele getallen zijn of kunnen worden opgeteld bij gehele getallen.

Radix-gebaseerde algoritmen

Sorteer Radix:Radix Sort is een niet op vergelijkingen gebaseerd sorteeralgoritme dat elementen sorteert op basis van cijfers of tekens. Het telt elk getal of teken in de elementen, van het minst significante getal tot het meest significante. Radicale sortering gaat ervan uit dat de invoerelementen gehele getallen of tekenreeksen zijn.Emmersoort:Bucket Sort is een variant van Radix Sort die elementen in vaste groepen verdeelt op basis van hun bereik of distributie. Elk segment wordt afzonderlijk gesorteerd met behulp van een ander sorteeralgoritme of recursief bin-sorteren.MSD (meest significante cijfer) Radix-sortering:MSD Radix Sort is een variant van radix sort die begint met het sorteren van elementen op basis van hun meest significante. Het verdeelt de elementen recursief in subgroepen op basis van de waarde van het huidige getal en past MSD Radix Sort toe op elke subgroep totdat alle getallen zijn geteld.LSD (minst significante cijfers) Radix-sortering:LSD Radix Sort is een andere variant die begint met het sorteren van elementen op basis van hun minst significante. Het sorteert de elementen recursief op basis van elk getal van uiterst rechts naar uiterst links, wat een gesorteerd resultaat oplevert. Zowel op tellingen gebaseerde als op wortels gebaseerde sorteeralgoritmen bereiken lineaire tijdscomplexiteit door gebruik te maken van specifieke eigenschappen van de invoerelementen, zoals hun bereik of representatiestructuur (bijvoorbeeld cijfers of tekens). De toepasbaarheid ervan kan echter variëren afhankelijk van de kenmerken van de invoergegevens.

Voordelen van lineaire tijdsortering

Algoritmen voor lineaire tijdsortering, zoals numerieke sortering, bieden in specifieke scenario's verschillende voordelen.

Efficiënt voor grote invoerformaten:De tijdscomplexiteit van lineaire tijdsorteringsalgoritmen is O(n), wat betekent dat de looptijd lineair toeneemt met de invoergrootte. Dit maakt ze zeer efficiënt voor grote datasets in vergelijking met op vergelijkingen gebaseerde sorteeralgoritmen zoals quicksort- of merge-algoritmen, die doorgaans een tijdscomplexiteit hebben van O (n log n).Geen vergelijkingsbewerkingen:Algoritmen voor lineaire tijdsortering, zoals opsommingssortering, vertrouwen niet op elementaire vergelijking. In plaats daarvan gebruiken ze specifieke attributen of informatie over de invoerelementen, zoals hun omvang of distributie. Deze eigenschap maakt ze voordelig wanneer de vergelijkingskosten hoog zijn, zoals voor complexe objecten of dure vergelijkingsoperaties.Geschiktheid voor specifieke invoereigenschappen:Lineaire tijdsorteringsalgoritmen hebben vaak specifieke vereisten of aannames over de invoerelementen. Om bijvoorbeeld een sorteervolgorde te berekenen, moet u vooraf het bereik van de invoerelementen kennen. Wanneer aan deze voorwaarden wordt voldaan, kunnen lineaire tijdsorteringsalgoritmen aanzienlijke prestatievoordelen bieden ten opzichte van algemene sorteeralgoritmen.Stabiele sortering:Veel algoritmen voor lineaire tijdsortering, inclusief numerieke sortering en radixsortering, zijn inherent stabiel. Consistentie betekent dat elementen met dubbele sleutels of waarden de relatieve volgorde in de gesorteerde uitvoer behouden. Dit kan van cruciaal belang zijn bij het sorteren van objecten of records met meerdere attributen of wanneer het behouden van de oorspronkelijke volgorde van elementen van gelijke waarde essentieel is.Makkelijk te gebruiken:Lineaire tijdsorteringsalgoritmen zoals opsommingssortering zijn vaak relatief eenvoudig te implementeren in vergelijking met complexere, op vergelijkingen gebaseerde sorteeralgoritmen. Ze kunnen gemakkelijker te begrijpen en te debuggen zijn, waardoor ze geschikt zijn voor situaties waarin eenvoud en duidelijkheid gewenst zijn.

Nadelen van lineaire tijdsortering

Hoewel lineaire planningsalgoritmen hun voordelen hebben, hebben ze ook bepaalde beperkingen en nadelen:

Beperkende invoervereisten:Lineaire tijdsorteringsalgoritmen hebben vaak specifieke vereisten of aannames over de invoerelementen. Om bijvoorbeeld een sorteervolgorde te berekenen, moet u vooraf het bereik van de invoerelementen kennen. Deze beperking beperkt de toepasbaarheid ervan op situaties waarin aan deze voorwaarden wordt voldaan. Geheugenvereisten kunnen onpraktisch worden of de beschikbare bronnen overschrijden als het bereik groot of onbekend is.Aanvullende ruimtevereisten:Sommige algoritmen voor lineaire tijdsortering, zoals numerieke sortering, vereisen extra ruimte om andere arrays of datastructuren op te slaan. De benodigde ruimte is vaak evenredig met het aantal invoerelementen. Dit kan een nadeel zijn als geheugengebruik een probleem is, vooral als het gaat om grote datasets of beperkte geheugenbronnen.Gebrek aan veelzijdigheid:Lineaire tijdsorteringsalgoritmen zijn gespecialiseerde algoritmen die zijn ontworpen voor specifieke scenario's of beperkingen. Mogelijk moeten ze geschikter en efficiënter zijn voor algemene sorteertaken of verschillende invoerdistributies. Op vergelijkingen gebaseerde sorteeralgoritmen zoals quicksort of merge zijn veelzijdiger en kunnen een breder invoerbereik aan.Inefficiënt voor kleine bereiken of schaarse gegevens:Lineaire tijdsorteringsalgoritmen zoals opsomming zijn het meest efficiënt wanneer het bereik van invoerelementen klein en dicht verdeeld is. Als het bereik groot is of de gegevens schaars zijn (d.w.z. slechts een paar verschillende waarden), kan het algoritme tijd en moeite besparen bij het verwerken van lege of dunbevolkte delen van het invoerbereik.Beperkt tot specifieke gegevenstypen:Algoritmen voor lineaire tijdsortering, zoals opsommingssortering, zijn voornamelijk ontworpen om niet-negatieve gehele getallen of sleutelwaardeobjecten te sorteren. Ze zijn mogelijk niet geschikt voor het sorteren van andere gegevenstypen, zoals getallen met drijvende komma, tekenreeksen of complexe gegevensstructuren. Het aanpassen van lineaire tijdsorteringsalgoritmen om verschillende gegevenstypen of aangepaste vergelijkingsfuncties te verwerken, kan aanvullende voorverwerking of aanpassingen vereisen.

Bij het kiezen van een sorteeralgoritme is het essentieel om zorgvuldig rekening te houden met de specifieke kenmerken van de invoergegevens en de vereisten van het sorteerprobleem. Hoewel lineaire planningsalgoritmen voordelen bieden in specifieke scenario's, zijn ze slechts soms de meest geschikte of efficiënte keuze.

Toepassingen van lineaire tijdsorteringsalgoritmen

Lineaire tijdsorteringsalgoritmen zijn efficiënt en hebben vele toepassingen op verschillende gebieden. Hier zijn enkele typische toepassingen van lineaire tijdvolgorde:

Gehele getallen met een klein bereik sorteren:Lineaire tijdsorteringsalgoritmen zoals count sort en radix sort zijn ideaal voor het sorteren van arrays van gehele getallen wanneer het bereik van waarden gelijk is aan deze algoritmen. Deze algoritmen bereiken lineaire tijdscomplexiteit door aannames te doen over de invoergegevens, waardoor ze op vergelijkingen gebaseerde sortering kunnen omzeilen.String sorteren:Lineaire tijdsorteringsalgoritmen kunnen ook worden toegepast om strings efficiënt te sorteren. Door unieke eigenschappen van strings te gebruiken, zoals hun lengte of karakters, kunnen algoritmen zoals Radix Sort een lineaire tijdscomplexiteit bereiken bij het sorteren van strings.Databasefuncties:Sorteren is een essentiële functie van lineaire tijdsorteringsalgoritmen die grote datasets efficiënt kunnen sorteren op basis van specifieke kolommen of velden. Dit maakt een snellere verwerking van zoekopdrachten en betere prestaties bij databasebewerkingen mogelijk.Histogrammen maken:Histogrammen zijn essentieel voor verschillende statistische en data-analysetaken. Algoritmen voor lineaire tijdsortering, zoals numerieke sortering, kunnen histogrammen genereren door op efficiënte wijze het voorkomen van elementen in een dataset te tellen.Externe sortering:De externe sorteertechniek wordt gebruikt in scenario's waarin de gegevens niet volledig in het geheugen passen. Lineaire tijdsorteringsalgoritmen zoals External Radix Sort of External Counting Sort kunnen grote datasets die op schijf of andere externe opslagapparaten zijn opgeslagen, efficiënt sorteren.Evenementenplanning:Lineaire tijdsorteringsalgoritmen kunnen gebeurtenissen plannen op basis van hun begin- of eindtijd. Door gebeurtenissen in oplopende volgorde te sorteren, kunt u eenvoudig conflicten, overlappende perioden identificeren of de volgende beschikbare periode vinden.Logbestanden analyseren:Het analyseren van logbestanden is een veel voorkomende taak bij systeembeheer en foutopsporing. Lineaire tijdsorteringsalgoritmen kunnen worden gebruikt om logs te sorteren op basis van tijdstempels, waardoor het gemakkelijker wordt om patronen en afwijkingen te identificeren of naar specifieke gebeurtenissen te zoeken.Data compressie:Sorteren speelt een essentiële rol bij verschillende datacompressietechnieken. Algoritmen zoals Burrows-Wheeler Transform (BWT) of Move-To-Front Transform (MTF) vertrouwen op lineaire tijdsordening om gegevens te herschikken om de compressie-efficiëntie te verbeteren. Dit zijn slechts enkele voorbeelden van toepassingen van lineaire tijdsorteringsalgoritmen.

Implementatie van lineaire tijdsortering in C++

Hier is een voorbeeld van een programma dat Counting Sort implementeert, een lineair tijdsorteringsalgoritme:

 #include #include using namespace std; void countingSort(vector&amp; arr) { // Find the maximum element in the array int max_val = *max_element(arr.begin(), arr.end()); // Create a count array to store the count of each element vector count(max_val + 1, 0); // Count the occurrences of each element for (int num : arr) { count[num]++; } // Compute the prefix sum for (int i = 1; i <count.size(); i++) { count[i] +="count[i" - 1]; } create a sorted output array vector output(arr.size()); place the elements in order for (int i="arr.size()" 1;>= 0; i--) { output[count[arr[i]] - 1] = arr[i]; count[arr[i]]--; } // Copy the sorted elements back to the original array for (int i = 0; i <arr.size(); i++) { arr[i]="output[i];" } int main() vector arr="{4," 2, 8, 3, 1}; sort the array using counting countingsort(arr); print sorted cout << 'sorted array: '; for (int num : arr) ' endl; return 0; < pre> <p> <strong>Sample Output</strong> </p> <pre> Sorted array: 1 2 2 3 3 4 8 </pre> <p>This indicates that the input array has been sorted in ascending order using the Counting Sort algorithm, resulting in the sorted array [1, 2, 2, 3, 3, 4, 8].</p> <p>In this C++ program, the counting sort function takes a reference to the vector arr and runs the counting sort routine. It finds the table&apos;s maximum value to determine the worksheet&apos;s size. It then counts each element&apos;s occurrence and calculates the worksheet&apos;s prefix sum. Then, it creates a result vector and puts the elements in order according to the worksheet. Finally, it copies the sorted elements back into the original array. In the primary function, the example array {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1} is sorted by the enumeration sort algorithm and printed as a sorted matrix. Note that the program uses libraries to work with vectors and find the maximum element of an array using the max_element function.</p> <hr></arr.size();></count.size();>

Dit geeft aan dat de invoerarray in oplopende volgorde is gesorteerd met behulp van het Counting Sort-algoritme, wat resulteert in de gesorteerde array [1, 2, 2, 3, 3, 4, 8].

In dit C++-programma neemt de tellende sorteerfunctie een verwijzing naar de vector arr en voert de tellende sorteerroutine uit. Het vindt de maximale waarde van de tabel om de grootte van het werkblad te bepalen. Vervolgens telt het het voorkomen van elk element en berekent het de prefixsom van het werkblad. Vervolgens wordt er een resultaatvector gemaakt en worden de elementen gerangschikt volgens het werkblad. Ten slotte kopieert het de gesorteerde elementen terug naar de originele array. In de primaire functie wordt de voorbeeldarray {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1} gesorteerd door het opsommingssorteeralgoritme en afgedrukt als een gesorteerde matrix. Merk op dat het programma bibliotheken gebruikt om met vectoren te werken en het maximale element van een array te vinden met behulp van de functie max_element.