De logaritme is de exponent of macht waartoe een grondtal wordt verheven om een bepaald getal te krijgen. ‘a’ is bijvoorbeeld de logaritme van ‘m’ tot het grondtal van ‘x’ als xM= a, dan kunnen we het schrijven als m = logXA. Logaritmen zijn uitgevonden om de berekeningen te versnellen en de tijd zal worden verkort als we veel cijfers vermenigvuldigen met behulp van logaritmen. Laten we nu de wetten van logaritmen hieronder bespreken.
Wetten van logaritmen
Er zijn drie wetten van logaritmen die worden afgeleid met behulp van de basisregels van exponenten. De wetten zijn de productregelwet, de quotiëntregelwet en de machtsregelwet. Laten we de wetten eens in detail bekijken.
Eerste wet van de logaritme of productregelwet
Laat a = xNen b = xMwaarbij basis x groter moet zijn dan nul en x niet gelijk is aan nul. dat wil zeggen x> 0 en x ≠ 0. Hieruit kunnen we ze schrijven als
n = logboekXa en m = logboekXb ⇢ (1)
Door de eerste wet van exponenten te gebruiken, weten we dat xN×xM= xn+m⇢ (2)
Nu vermenigvuldigen we a en b en krijgen we het als:
boto3
ab = xN×xM
ab = xn+m(Uit vergelijking 2)
Pas nu de logaritme toe op de bovenstaande vergelijking die we krijgen zoals hieronder,
loggenXab = n + m
Uit vergelijking 1 kunnen we schrijven als logXab = logboekXeen + logboekXB
Dus als we twee getallen willen vermenigvuldigen en de logaritme van het product willen vinden, tel dan de individuele logaritmes van de twee getallen bij elkaar op. Dit is de eerste wet van de logaritmen/productregelwet.
loggen X ab = logboek X een + logboek X B
We kunnen deze wet toepassen op meer dan twee getallen, dat wil zeggen:
loggen X abc = logboek X een + logboek X b + logboek X C.
Tweede wet van de logaritme of quotiëntregelwet
Laat a = xNen b = xMwaarbij basis x groter moet zijn dan nul en x niet gelijk is aan nul. dat wil zeggen x> 0 en x ≠ 0. hieruit kunnen we ze schrijven als,
n = logboekXa en m = logboekXb ⇢ (1)
Door de eerste wet van exponenten te gebruiken, weten we dat xN/ XM= xn – m⇢ (2)
een object in Java
Nu vermenigvuldigen we a en b en krijgen we het als:
a/b = xN/ XM
a/b = xn – m⇢ (Uit vergelijking 2)
Pas nu de logaritme toe op de bovenstaande vergelijking die we krijgen zoals hieronder,
loggenX(a/b) = n – m
Uit vergelijking 1 kunnen we schrijven als logX(a/b) = logboekXeen boomstamXB
Dus als we twee getallen willen delen en de logaritme van de deling willen vinden, kunnen we de individuele logaritmes van de twee getallen aftrekken. Dit is de tweede wet van logaritmen/quotiëntregelwet.
loggen X (a/b) = logboek X een boomstam X B
Derde wet van de logaritme of machtsregelwet
Laat a = xN⇢ (ik),
Waar basis x groter moet zijn dan nul en x niet gelijk is aan nul. dat wil zeggen x> 0 en x ≠ 0. Hieruit kunnen we ze schrijven als:
n = logboekXeen ⇢ (1)
Als we beide zijden van de vergelijking (i) verhogen met de macht ‘m’, krijgen we het als volgt:
AM= (xN)M= xnm
Laat eenMeen enkele grootheid zijn en logaritme toepassen op de bovenstaande vergelijking,
loggenXAM= nm
loggen X A M = m.log X A
Dit is de derde wet van logaritmen. Er wordt gesteld dat de logaritme van een machtsgetal kan worden verkregen door de logaritme van het getal met dat getal te vermenigvuldigen.
Voorbeeldproblemen
Probleem 1: Vouw logboek 21 uit.
Oplossing:
Zoals we dat logboek kennenXab = logboekXeen + logboekXb (Vanaf de eerste wet van de logaritme)
Dus log 21 = log (3 × 7)
= logboek 3 + logboek 7
Probleem 2: Logboek uitbreiden (125/64).
Oplossing:
Zoals we dat logboek kennenX(a/b) = logboekXeen boomstamXb (Uit de tweede wet van de logaritme)
Dus log (125/64) = log 125 – log 64
= logboek 53– logboek 43
loggenXAM= m.logXa (Vanuit de derde wet van de logaritme) kunnen we het schrijven als:
= 3 log 5 – 3 log 4
= 3(logboek 5 – logboek 4)
Probleem 3: Schrijf 3log 2 + 5 log3 – 5log 2 als één logaritme.
Oplossing:
3log 2 + 5 log3 – 5log 2
= logboek 23+ loggen 35– logboek 25
= stam 8 + stam 243 – stam 32
tekenreeks transformeren naar int= logboek(8 × 243) – logboek 32
= logboek 1944 – logboek 32
= logboek (1944/32)
Probleem 4: Schrijf log 16 – log 2 als een enkele logaritme.
Oplossing:
logboek(16/2)
= logboek(8)
= logboek(23)
= 3 logboek 2
Probleem 5: schrijf 3 log 4 als één logaritme
Oplossing:
Vanuit de machtsregelwet kunnen we het schrijven als:
= logboek 43
= logboek 64
10 procent van de 60
Probleem 6: Schrijf 2 log 3-3 log 2 als één logaritme
Oplossing:
logboek 32– logboek 23
= logboek 9 – logboek 8
= logboek (9/8)
Probleem 7: Schrijf log 243 + log 1 als één logaritme
Oplossing:
logboek (243 × 1)
= logboek 243