Regel 2

Als de LHS en RHS van de uitdrukkingen worden uitgewisseld, keert de ongelijkheid om. Het wordt omgekeerde eigenschap genoemd.

• Als a> b, dan b
• Als een A
• Als a ≥ b, dan b ≤ a
• Als a ≤ b, dan b ≥ a

Regel 3

Als dezelfde constante k wordt opgeteld of afgetrokken van beide zijden van de ongelijkheid, dan zijn beide zijden van de ongelijkheid gelijk.

• Als a> b, dan a + k> b + k
• Als a> b, dan a – k> b – k

Hetzelfde geldt voor andere ongelijkheden.

• Als een
• Als een
• Als a ≤ b, dan a + k ≤ b + k
• Als a ≤ b, dan a – k ≤ b – k
• Als a ≥ b, dan a + k ≥ b + k
• Als a ≥ b, dan a – k ≥ b – k

De richting van de ongelijkheid verandert niet na het optellen of aftrekken van een constante.

Regel 4

Als k een positieve constante is die wordt vermenigvuldigd of gedeeld door beide zijden van de ongelijkheid, dan is er geen verandering in de richting van de ongelijkheid.

• Als a> b, dan ak> bk
• Als een
• Als a ≤ b, dan ak ≤ bk
• Als a ≥ b, dan ak ≥ bk

Als k een negatieve constante is die wordt vermenigvuldigd of gedeeld door beide zijden van de ongelijkheid, dan wordt de richting van de ongelijkheid omgekeerd.

• Als a> b, dan ak
• Als a> b, dan ak
• Als a ≥ b, dan ak ≤ bk
• Als a ≤ b, dan ak ≥ bk

Regel 5

Het kwadraat van elk getal is altijd groter dan of gelijk aan nul.

• A²≥ 0

Regel 6

Het nemen van wortels aan beide kanten van de ongelijkheid verandert de richting van de ongelijkheid niet.

• Als a> b, dan √a> √b
• Als een
• Als a ≥ b, dan √a ≥ √b
• Als a ≤ b, dan √a ≤ √b

Grafiek voor ongelijkheden

Ongelijkheden zijn er met één of twee variabelen, of we hebben een systeem van ongelijkheden; ze kunnen allemaal in het cartesiaanse vlak worden weergegeven als het maar twee variabelen bevat. Ongelijkheden in één variabele worden uitgezet op reële lijnen en twee variabelen worden uitgezet op het cartesiaanse vlak.

Intervalnotatie voor ongelijkheden

Belangrijke punten voor het schrijven van intervallen voor ongelijkheden:

• In het geval van groter dan en gelijk aan ( ≥ ) of kleiner dan gelijk aan ( ≤ ), worden de eindwaarden opgenomen, dus worden gesloten of vierkante haakjes [ ] gebruikt.
• Bij groter dan ( > ) of minder dan ( < ), worden de eindwaarden uitgesloten, dus worden open haakjes () gebruikt.
• Voor zowel positieve als negatieve oneindigheid worden open haakjes () gebruikt.

De volgende tabel geeft intervallen weer voor verschillende ongelijkheden:

Grafiek voor lineaire ongelijkheden met één variabele

Uit de volgende tabel kunnen we begrijpen hoe we verschillende lineaire ongelijkheden met één variabele op een echte lijn kunnen plotten.

Ongelijkheid	Interval	Grafiek
x> 1	(1, ∞)	Lineaire ongelijkheden met één variabele
x<1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Grafiek voor lineaire ongelijkheden met twee variabelen

Laten we een voorbeeld nemen van lineaire ongelijkheden met twee variabelen.

Beschouw de lineaire ongelijkheid 20x + 10y ≤ 60, aangezien de mogelijke oplossingen voor een gegeven ongelijkheid zijn (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1 ), (2,2), (3,0), en ook alle punten voorbij deze punten zijn ook de oplossing van de ongelijkheid.

Laten we de grafiek uitzetten op basis van de gegeven oplossingen.

Het gearceerde gebied in de grafiek geeft de mogelijke oplossingen voor de gegeven ongelijkheid weer.

Lees ook

• Grafische oplossing van lineaire ongelijkheden in twee variabelen

Soorten ongelijkheden

Er zijn verschillende soorten ongelijkheid die als volgt kunnen worden geclassificeerd:

• Polynomiale ongelijkheden: Polynomiale ongelijkheden zijn ongelijkheden die kunnen worden weergegeven in de vorm van polynomen. Voorbeeld- 2x + 3 ≤ 10.
• Absolute waardeongelijkheid: Absolute waarde-ongelijkheden zijn de ongelijkheden binnen het teken van de absolute waarde. Voorbeeld- |y + 3| ≤ 4.
• Rationele ongelijkheden: Rationele ongelijkheden zijn ongelijkheden met breuken samen met de variabelen. Voorbeeld- (x + 4) / (x – 5) <5.

Hoe ongelijkheden op te lossen

Om de ongelijkheden op te lossen, kunnen we de volgende stappen gebruiken:

• Stap 1: Schrijf de ongelijkheid in de vorm van de vergelijking.
• Stap 2: Los de vergelijking op en verkrijg de wortels van de ongelijkheden.
• Stap 3: Geef de verkregen waarden weer op de getallenlijn.
• Stap 4: Geef de uitgesloten waarden ook weer op de getallenlijn met de open cirkels.
• Stap 5: Zoek de intervallen op de getallenlijn.
• Stap 6: Neem een ​​willekeurige waarde uit elk interval en plaats deze waarden in de ongelijkheid en controleer of deze voldoet aan de ongelijkheid.
• Stap 7: De oplossing voor de ongelijkheid zijn de intervallen die aan de ongelijkheid voldoen.

Hoe polynomiale ongelijkheden op te lossen

Polynomiale ongelijkheden omvatten lineaire ongelijkheden, kwadratische ongelijkheden, kubieke ongelijkheden, enz. Hier zullen we leren lineaire en kwadratische ongelijkheden op te lossen.

Lineaire ongelijkheden oplossen

Lineaire ongelijkheden kunnen worden opgelost zoals lineaire vergelijkingen, maar volgens de ongelijkheidsregel. Lineaire ongelijkheden kunnen worden opgelost met behulp van eenvoudige algebraïsche bewerkingen.

Ongelijkheid in één of twee stappen

Eénstapsongelijkheid is ongelijkheid die in één stap kan worden opgelost.

Voorbeeld: Oplossen: 5x <10

Oplossing:

⇒ 5x <10 [Beide zijden delen door 5]

⇒ x <2 of (-∞, 2)

Tweestapsongelijkheid zijn ongelijkheden die in twee stappen kunnen worden opgelost.

Voorbeeld: Oplossen: 4x + 2 ≥ 10

Oplossing:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [2 van beide kanten aftrekken]

⇒ 4x ≥ 8 [Beide zijden delen door 4]

⇒ x ≥ 2 of [2, ∞)

Samengestelde ongelijkheden

Samengestelde ongelijkheden zijn ongelijkheden die meerdere ongelijkheden hebben, gescheiden door en of of. Om samengestelde ongelijkheden op te lossen, lost u de ongelijkheden afzonderlijk op, en voert u voor de uiteindelijke oplossing de kruising van verkregen oplossingen uit als de ongelijkheden gescheiden zijn door en en voert u de vereniging van verkregen oplossingen uit als de ongelijkheden gescheiden zijn door of.

Voorbeeld: Oplossen: 4x + 6 <10 en 5x + 2 < 12

Oplossing:

Los eerst 4x + 6 <10 op

⇒ 4x + 6 <10 [6 van beide kanten aftrekken]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 of (-∞, 1) —–(i)

Tweede oplossing 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [2 van beide kanten aftrekken]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 of (-∞, 2) ——-(ii)

Uit (i) en (ii) hebben we twee oplossingen x <1 en x < 2.

We nemen het snijpunt voor de uiteindelijke oplossing, aangezien de ongelijkheden worden gescheiden door en.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

De uiteindelijke oplossing voor een gegeven samengestelde ongelijkheid is (-∞, 1).

Lees verder

• Samengestelde ongelijkheden
• Woordproblemen van lineaire ongelijkheden
• Driehoeksongelijkheid

Solvw Kwadratische ongelijkheden

Laten we een voorbeeld nemen om absolute waardeongelijkheid op te lossen.

Voorbeeld: Los de ongelijkheid op: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Oplossing:

Hieronder volgen de stappen om ongelijkheid op te lossen: x²– 7x + 6 ≥ 0

Stap 1: Schrijf de ongelijkheid in de vorm van een vergelijking:

X²– 7x + 6 = 0

Stap 2: Los De vergelijking op:

X²– 7x + 6 = 0

X²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 en x = 1

Uit de bovenstaande stap verkrijgen we waarden x = 6 en x = 1

Stap 3: Vanaf bovenstaande waarden zijn de intervallen (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Omdat de ongelijkheid ≥ is, inclusief gelijk aan, gebruiken we gesloten haakjes voor de verkregen waarden.

Stap 4: Getallenlijnweergave van bovenstaande intervallen.

Stap 5: Neem willekeurige getallen tussen elk interval en controleer of dit aan de waarde voldoet. Als het voldoet, neem dan het interval op in de oplossing.

Voor interval (-∞, 1] geldt dat de willekeurige waarde -1 is.

Zet x = -1 in de ongelijkheid x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (waar)

Voor interval [1, 6] is de willekeurige waarde 2.

Zet x = 0 in de ongelijkheid x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (onwaar)

Voor interval [6, ∞) is de willekeurige waarde 7.

Zet x = 7 in de ongelijkheid x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (waar)

Stap 6: Dus de oplossing voor de absolute waardeongelijkheid x²– 7x + 6 ≥ 0 is het interval (-∞, 1] ∪ [6, ∞) omdat het voldoet aan de ongelijkheid die op de getallenlijn kan worden uitgezet als:

Hoe absolute waardeongelijkheid op te lossen

Laten we een voorbeeld nemen om absolute waardeongelijkheid op te lossen.

Voorbeeld: Los de ongelijkheid op: |y + 1| ≤ 2

Oplossing:

Hieronder volgen de stappen om ongelijkheid op te lossen: |y + 1| ≤ 2

Stap 1: Schrijf de ongelijkheid in de vorm van een vergelijking:

|y + 1| = 2

Stap 2: Los De vergelijking op:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 en y + 1 = – 2

y = 1 en y = -3

Uit de bovenstaande stap verkrijgen we waarden y = 1 en y = -3

Stap 3: Vanaf bovenstaande waarden zijn de intervallen (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Omdat de ongelijkheid ≤ is, inclusief gelijk aan, gebruiken we gesloten haakjes voor de verkregen waarden.

Stap 4: Getallenlijnweergave van bovenstaande intervallen.

Stap 5: Neem willekeurige getallen tussen elk interval en controleer of dit aan de waarde voldoet. Als het voldoet, neem dan het interval op in de oplossing.

Voor interval (-∞, -3] geldt dat de willekeurige waarde -4 is.

We plaatsen y = -4 in de ongelijkheid |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (onwaar)

Voor interval [-3, 1] geldt dat de willekeurige waarde 0 is.

We plaatsen y = 0 in de ongelijkheid |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (waar)

Voor interval [1, ∞) geldt dat de willekeurige waarde 2 is.

Door y = 2 in de ongelijkheid |y + 1| te plaatsen ≤ 2

⇒ |2+1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (onwaar)

Stap 6: Dus de oplossing voor de absolute waardeongelijkheid |y + 1| ≤ 2 is interval [-3, -1] omdat het voldoet aan de ongelijkheid die op de getallenlijn kan worden uitgezet als:

Hoe rationele ongelijkheden op te lossen

Laten we een voorbeeld nemen om rationele ongelijkheden op te lossen.

Voorbeeld: Los de ongelijkheid op: (x + 3) / (x – 1) <2

Oplossing:

Hieronder volgen de stappen om ongelijkheid op te lossen:

Stap 1: Schrijf de ongelijkheid in de vorm van een vergelijking: (x+3) / (x – 1) <2

(x+3) / (x – 1) = 2

Stap 2: Los De vergelijking op:

(x+3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

x+3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Uit de bovenstaande stap verkrijgen we de waarde x = 5

Stap 3: Vanaf bovenstaande waarden zijn de intervallen (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Sindsdien is de ongelijkheid

Omdat voor x = 1 de ongelijkheid ongedefinieerd is, nemen we een open haakje voor x = 1.

Stap 4: Getallenlijnweergave van bovenstaande intervallen.

Stap 5: Neem willekeurige getallen tussen elk interval en controleer of dit aan de waarde voldoet. Als het voldoet, neem dan het interval op in de oplossing.

Voor interval (-∞, 1) laat de willekeurige waarde 0 zijn.

x = 0 in de ongelijkheid plaatsen (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (waar)

Voor interval (1, 5) geldt dat de willekeurige waarde 2 is.

x = 3 in de ongelijkheid plaatsen (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (onwaar)

Voor interval (5, ∞) geldt dat de willekeurige waarde 2 is.

Y = 6 plaatsen in de ongelijkheid (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (waar)

Stap 6: Dus de oplossing voor de absolute waardeongelijkheid (x + 3) / (x – 1) <2 is interval (-∞, 1) ∪ (5, ∞) omdat het voldoet aan de ongelijkheid die op de getallenlijn kan worden uitgezet als:

Hoe lineaire ongelijkheid op te lossen met twee variabelen

Laten we een voorbeeld nemen om lineaire ongelijkheid met twee variabelen op te lossen.

Voorbeeld: Oplossen: 20x + 10j ≤ 60

Oplossing:

Beschouw x = 0 en plaats dit in de gegeven ongelijkheid

⇒ 20x + 10j ≤ 60

⇒ 20(0) + 10j ≤ 60

⇒ 10j ≤ 60

⇒ en ≤ 6 ——(i)

Als x = 0, kan y 0 tot 6 zijn.

Op dezelfde manier wordt de ongelijkheid bevredigd door waarden in de ongelijkheid te stoppen en deze te controleren.

Voor x = 1 kan y 0 tot 4 zijn.

Voor x = 2 kan y 0 tot 2 zijn.

Voor x = 3 kan y 0 zijn.

De mogelijke oplossing voor een gegeven ongelijkheid is (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Systemen van ongelijkheid

De systemen van ongelijkheid zijn de verzameling van twee of meer ongelijkheden met een of meer variabelen. Systemen van ongelijkheid bevatten meerdere ongelijkheden met een of meer variabelen.

Het systeem van ongelijkheid heeft de vorm:

A_elfX₁+ een₁₂X₂+ een₁₃X₃…….. + een_1nX_{N 1}

A_eenentwintigX₁+ een₂₂X₂+ een₂₃X₃…….. + een_2nX_{N 2}

A_n1X₁+ een_n2X₂+ een_n3X₃…….. + een_nX_{N N}

Grafische weergave van systemen van ongelijkheid

Het systeem van ongelijkheden is een groep van meerdere ongelijkheden. Los eerst elke ongelijkheid op en teken de grafiek voor elke ongelijkheid. Het snijpunt van de grafiek van alle ongelijkheden vertegenwoordigt de grafiek voor systemen van ongelijkheden.

Denk eens aan een voorbeeld,

Voorbeeld: Teken een grafiek voor stelsels van ongelijkheden

• 2x + 3j ≤ 6
• x ≤ 3
• j ≤ 2

Oplossing:

Grafiek voor 2x + 3y ≤ 6

Het gearceerde gebied van de grafiek vertegenwoordigt 2x + 3y ≤ 6

Grafiek voor x ≤ 3

Het gearceerde gebied vertegenwoordigt x ≤ 3

Grafiek voor y ≤ 2

Het gearceerde gebied vertegenwoordigt y ≤ 2

Grafiek voor een gegeven systeem van ongelijkheden

Het gearceerde gebied vertegenwoordigt een bepaald systeem van ongelijkheden.

Ongelijkheid – Veelgestelde vragen

Wat is het concept van ongelijkheid?

Ongelijkheden zijn de wiskundige uitdrukkingen waarin de LHS en RHS van de uitdrukking ongelijk zijn.

Wat zijn de symbolen voor ongelijkheid?

Symbolen van ongelijkheid zijn:>, <, ≥, ≤ en ≠.

Wat is de transitieve eigenschap van ongelijkheid?

Transitieve eigenschap van ongelijkheden stelt dat als a, b, c drie getallen zijn,

• Als a> b en b> c, dan a> c
• Als een
• Als a ≥ b en b ≥ c, dan a ≥ c
• Als a ≤ b en b ≤ c, dan a ≤ c