In dit artikel zullen we de Fourier-transformatieanalyse of Fourier-transformatie in circuitanalyse bestuderen. De Fourier-transformatie is in feite een wiskundige bewerking die een signaal ontleedt in de samenstellende frequentiecomponenten. In eenvoudige woorden: het converteert een signaal van het tijddomein naar het frequentiedomein. Het tijddomein representeert het signaal als functie van de tijd, terwijl het frequentiedomein het signaal representeert als functie van de frequentie.
Fourier-transformatie
De Fourier-transformatie is een verbazingwekkend krachtig hulpmiddel voor het analyseren van het gedrag van verschillende soorten circuits, omdat we hiermee kunnen zien hoe het circuit reageert op verschillende frequenties. Dit is handig voor verschillende soorten taken, zoals:
- Analyse van de reactie van een circuit op willekeurige ingangssignalen: Dit kan eenvoudig worden gebruikt om circuits te ontwerpen die een groot aantal ingangssignalen kunnen verwerken, zoals audiosignalen of videosignalen.
- Identificatie van de resonantiefrequenties van een circuit: Resonantiefrequenties zijn de frequenties waarbij een circuit de signalen versterkt. Deze informatie kan worden gebruikt om de circuits te ontwerpen die op specifieke frequenties moeten werken, zoals als filters of oscillatoren.
- Filters ontwerpen om ongewenste frequentiecomponenten uit een signaal te verwijderen: Filters kunnen meestal worden gebruikt om de ruis of interferentie uit een signaal te verwijderen, of om specifieke frequentiecomponenten uit een bepaald signaal te halen.
- De stabiliteit van een circuit begrijpen: Een stabiel circuit is een circuit dat eenvoudigweg niet zal oscilleren of divergeren. De Fourier-transformatie kan worden gebruikt om de stabiliteit van een circuit te analyseren door alleen naar de frequentierespons van het circuit te kijken.
De Fourier-transformatie wordt ook op veel andere gebieden gebruikt, waaronder signaalverwerking, beeldverwerking en kwantummechanica.
In dit artikel bespreken we de volgende onderwerpen die verband houden met de Fourier-transformatie in circuitanalyse:
- Soorten Fourier-transformaties
- Eigenschappen van de Fourier-transformatie
- Toepassingen van de Fourier-transformatie in circuitanalyse
We zullen ook de voorbeelden en illustraties bespreken om de concepten op de juiste manier te begrijpen.
De reden van evolutie begrijpen
De Fourier-transformatie werd voor het eerst ontwikkeld door de bekende Franse wiskundige Jean-Baptiste Joseph Fourier in het begin van de 19e eeuw. Hij was zeer geïnteresseerd in het oplossen van de vergelijking van warmtegeleiding, een partiële differentiaalvergelijking. Fourier realiseerde zich dat hij de vergelijking kon oplossen door simpelweg de initiële temperatuurverdeling te ontbinden in de samenstellende sinus- en cosinusgolven.
De Fourier-transformatie is sindsdien toegepast op een groot aantal problemen in de natuurkunde en techniek, waaronder circuitanalyse. Bij de circuitanalyse kan Fourier-transformatie worden gebruikt om de respons van een circuit op willekeurige ingangssignalen te analyseren.
Effecten van Fourier-transformatie
De Fourier-transformatie heeft een groot aantal belangrijke effecten op circuitanalyse. In die eerste plaats stelt het ons in staat de reactie van een circuit op willekeurige ingangssignalen te analyseren. Ten tweede stelt het ons in staat de resonantiefrequenties van een circuit te identificeren. Vervolgens kunnen we op de derde plaats filters ontwerpen die ongewenste frequentiecomponenten uit een signaal verwijderen.
Fourier-transformatieformule
De Fourier-transformatie van een signaal x(t) wordt aangegeven met de X(f) en wordt als volgt gedefinieerd:
X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt> Hier is f de frequentie in parameter Hertz.
De notatie die wordt gebruikt in de Fourier-transformatieformule is:
- x(t) is een tijddomeinsignaal.
- X(f) is het frequentiedomeinsignaal.
- j is een denkbeeldige eenheid.
- e −j2πft is een complexe exponentiële functie.
Soorten Fourier-transformatie
Er zijn hoofdzakelijk twee soorten Fourier-transformaties:
- Continue Fourier-transformatie (CFT)
- Discrete Fourier-transformatie (DFT) .
Continue Fourier-transformatie (CFT)
De CFT is gedefinieerd voor continue tijdsignalen, wat in feite signalen zijn die op elk moment elke waarde kunnen aannemen.
De continue Fourier-transformatie (CFT) van een signaal x(t) kan als volgt worden gedefinieerd:
X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt> waarbij f de frequentie in Hertz is.
De notatie die in de CFT-formule wordt gebruikt, is:
- x(t) is het tijddomeinsignaal.
- X(f) is het frequentiedomeinsignaal.
- j is de denkbeeldige eenheid.
- e −j2πft is de complexe exponentiële functie.
Afleiding van de CFT
De CFT kan eenvoudig worden afgeleid uit de Fourierreeks van een periodiek signaal. De Fourierreeks van een periodiek signaal x(t) met periode T wordt gegeven door:
x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}> Hier Cn zijn de Fourier-coëfficiënten van het signaal.
De CFT kan worden verkregen door simpelweg de limiet van de Fourierreeks te nemen naarmate de periode T het oneindige nadert. Binnen deze limiet worden de Fourier-coëfficiënten een continue functie van de frequentie, en wordt de Fourier-reeks de CFT.
Discrete Fourier-transformatie (DFT)
De DFT is gedefinieerd voor discrete-tijdsignalen, dit zijn signalen die alleen op bepaalde tijdstippen bepaalde waarden kunnen aannemen.
De discrete Fourier-transformatie (DFT) van een discreet tijdsignaal x [n] kan als volgt worden gedefinieerd:
X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}> Hier is k de frequentie-index en N de lengte van het betreffende signaalsignaal.
De notatie die in de DFT-formule wordt gebruikt, is:
hoe je een pointer in c kunt derefereren
- x[n] is het discrete-tijdsignaal.
- X[k] is het frequentiedomeinsignaal.
- j is de denkbeeldige eenheid.
- e −j2πkn/N
- is de complexe exponentiële functie.
Afleiding van de DFT
In eenvoudige bewoordingen wordt CFT in principe gedefinieerd voor continue tijdsignalen , terwijl de DFT is gedefinieerd voor discrete tijdsignalen . De DFT wordt meestal gebruikt als type Fourier-transformatie in circuitanalyse, aangezien de meeste elektronische circuits werken op discrete tijdsignalen.
De DFT van een discreet tijdsignaal x[n] wordt aangegeven met X[k] en wordt als volgt gedefinieerd:
X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}> Hier is k de frequentie-index en de N de lengte van het signaal.
De DFT kan worden afgeleid van de CFT door eenvoudigweg de CFT te bemonsteren op discrete frequenties:
X[k] = X(f = k/N)>
Voorbeelden van Fourier-transformatie met diagram
Laten we het volgende voorbeeldcircuit bekijken:
Eenvoudig RC-circuit
Hier is de invoer van het circuit een blokgolf en de uitvoer een gefilterde blokgolf. Waar de Fourier-transformatie van de ingangsblokgolf een reeks impulsen is op de harmonische frequenties. De Fourier-transformatie van de uitgaande blokgolf is een reeks verzwakte impulsen op de harmonische frequenties.
Hier is het volgende diagram dat de Fourier-transformaties van de ingangs- en uitgangssignalen toont:
Fouriertransformatie Ingang Uitgang
Eigenschappen
De Fourier-transformatie heeft een aantal belangrijke eigenschappen, waaronder:
- De Fourier-transformatie van een reëel signaal is geconjugeerd symmetrisch.
- De Fourier-transformatie van een lineaire combinatie van signalen is een lineaire combinatie van de Fourier-transformaties van de individuele signalen.
- De Fourier-transformatie van een in de tijd verschoven signaal is een in frequentie verschoven signaal.
- De Fourier-transformatie van een in frequentie verschoven signaal is een in de tijd verschoven signaal.
Kenmerken
De Fourier-transformatie van een signaal heeft de volgende kenmerken:
- De grootte van de Fourier-transformatie van een signaal vertegenwoordigt de amplitude van de frequentiecomponenten van het signaal.
- De fase van de Fourier-transformatie van een signaal vertegenwoordigt de fase van de frequentiecomponenten van het signaal.
Toepassingen
De Fourier-transformatie heeft een groot aantal toepassingen in circuitanalyse, waaronder:
- Analyseren van de gegeven reactie van een circuit op willekeurige ingangssignalen.
- Identificatie van de resonantiefrequenties van een circuit.
- Het ontwerpen van filters om de ongewenste frequentiecomponenten uit een signaal te verwijderen.
Voor-en nadelen
Enkele van de voor- en nadelen van Fourier Transform zijn-
volgende scanner
Voordelen:
- De Fourier-transformatie is een krachtig hulpmiddel voor het analyseren van de frequentierespons van circuits.
- Het kan worden gebruikt om filters te ontwerpen om ongewenste frequentiecomponenten uit een signaal te verwijderen.
Nadelen:
- De Fourier-transformatie kan ook veel complexer zijn om te begrijpen en te gebruiken.
- De Fourier-transformatie kan computationeel duurder zijn om te berekenen.
Verschil tussen Laplace-transformatie en Fourier-transformatie
In principe is de Fourier-transformatie grotendeels vergelijkbaar met de Laplace-transformatie, maar er zijn een paar belangrijke verschillen. In die zin dat de Fourier-transformatie is gedefinieerd voor signalen in continue tijd, terwijl de Laplace-transformatie is gedefinieerd voor zowel de signalen in continue tijd als discrete tijd. Bovendien is de Fourier-transformatie niet erg geschikt voor het analyseren van transiënte signalen, terwijl de Laplace-transformatie daarbij nuttig is.
| Eigendom | Laplace-transformatie | Fourier-transformatie |
|---|---|---|
| Domein | Tijd en frequentie | Alleen frequentie |
| Definitie | X(s)=∫ −∞ ∞ x(t)e −st dt | X(f)=∫ −∞ ∞ x(t)e −j2πft dt |
| Toepassingen | Circuitanalyse, signaalverwerking, regeltheorie | Circuitanalyse, signaalverwerking, beeldverwerking, kwantummechanica |
Voorwaartse en inverse Fourier-transformatie
De voorwaartse Fourier-transformatie kan een signaal van het tijddomein naar het frequentiedomein converteren. De inverse Fourier-transformatie moet een signaal van het frequentiedomein naar het tijddomein converteren.
De inverse Fourier-transformatie wordt als volgt gedefinieerd:
x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df> Voorwaartse sinustransformatie en Fourier-cosinustransformatie
De voorwaartse sinustransformatie en de voorwaartse cosinustransformatie zijn in feite twee varianten van de Fourier-transformatie. De voorwaartse sinustransformatie wordt als volgt gedefinieerd:
S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt> De voorwaartse cosinustransformatie wordt als volgt gedefinieerd:
C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt> De voorwaartse sinustransformatie en voorwaartse cosinustransformatie zijn zeer nuttig voor het analyseren van signalen met respectievelijk even en oneven symmetrie.
Conclusie
Over het algemeen is de Fourier-transformatie een zeer essentieel hulpmiddel voor circuit-naar-analyse. Het geeft ons de toestemming om te begrijpen hoe circuits reageren op verschillende frequenties, wat belangrijker is voor het ontwerpen en analyseren van elektronische circuits. De Fourier-transformatie heeft verschillende soorten toepassingen in circuitanalyse, waaronder het analyseren van de respons van een circuit op willekeurige ingangssignalen, het identificeren van de resonantiefrequenties van een bepaald circuit, het ontwerpen van filters om ongewenste frequentiecomponenten uit het signaal te verwijderen en het begrijpen van de stabiliteit van een circuit.
De Fourier-transformatie wordt ook op veel andere gebieden gebruikt, waaronder de signaalverwerking, beeldverwerking en de kwantummechanica. Het is een zeer veelzijdig en krachtig hulpmiddel met een breed scala aan toepassingen.
Hier zijn enkele aanvullende, bewuste gedachten over het belang van de Fourier-transformatie bij circuitanalyse:
shweta tiwari-acteur
- Met de Fourier-transformatie kunnen we eenvoudig lineaire en niet-lineaire circuits analyseren.
- De Fourier-transformatie kan worden gebruikt om verschillende soorten circuits in het tijddomein of het frequentiedomein te analyseren.
- De Fourier-transformatie kan worden gebruikt voor analysecircuits met meerdere ingangen en uitgangen.
- De Fourier-transformatie kan worden gebruikt om circuits met de feedbacklussen te analyseren.
De Fourier-transformatie is een krachtig hulpmiddel dat kan worden gebruikt om een breed scala aan circuitproblemen te analyseren. Het is een essentieel hulpmiddel voor elke circuitingenieur.
Veel Gestelde Vragen
1. Wat is het verschil tussen de Fourier-transformatie en de Laplace-transformatie?
Het Laplace-gebruik voor zowel CFT als DFT, maar niet voor Fourier-transformatie
2. Waarom is de Fourier-transformatie belangrijk bij circuitanalyse?
De Fourier-transformatie is belangrijker bij circuitanalyse, alleen maar omdat we hiermee de frequentierespons van circuits kunnen analyseren. De frequentierespons
3. Wat zijn enkele toepassingen van de Fourier-transformatie in circuitanalyse?
De Fourier-transformatie kan worden gebruikt voor een verscheidenheid aan taken in circuitanalyse, zoals:
Analyseren van de reactie van een circuit op willekeurige ingangssignalen.
Identificatie van de resonantiefrequenties van een circuit.
Het ontwerpen van filters om ongewenste frequentiecomponenten uit een signaal te verwijderen.
De stabiliteit van een circuit begrijpen.