Stel dat er twee formules zijn, X en Y. Deze formules staan ​​bekend als gelijkwaardigheid als X ↔ Y een tautologie is. Als twee formules X ↔ Y een tautologie zijn, dan kunnen we deze ook schrijven als X ⇔ Y, en we kunnen deze relatie lezen als X gelijkwaardigheid aan Y.

Opmerking: Er zijn enkele punten waarmee we rekening moeten houden bij lineaire equivalentie van de formule, die als volgt worden beschreven:

• ⇔ wordt alleen gebruikt om een ​​symbool aan te geven, maar is niet verbindend.
• De waarheidswaarde van X en Y zal altijd gelijk zijn als X ↔ Y een tautologie is.
• De equivalentierelatie bevat twee eigenschappen, namelijk symmetrisch en transitief.

Methode 1: Waarheidstabelmethode:

Bij deze methode construeren we de waarheidstabellen van elke formule met twee uitspraken en controleren we vervolgens of deze uitspraken gelijkwaardig zijn.

Voorbeeld 1: In dit voorbeeld moeten we X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) bewijzen.

Oplossing: De waarheidstabel van X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) wordt als volgt beschreven:

Zoals we kunnen zien is X ∨ Y en ¬(¬X ∧ ¬Y) een tautologie. Dus X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Voorbeeld 2: In dit voorbeeld moeten we bewijzen dat (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Oplossing: De waarheidstabel van (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) wordt als volgt beschreven:

Zoals we kunnen zien, zijn X → Y en (¬X ∨ Y) een tautologie. Dus (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Equivalentieformule:

Er zijn verschillende wetten die worden gebruikt om de gelijkwaardigheidsformule te bewijzen, die als volgt wordt beschreven:

Idempotente wet: Als er één instructieformule is, heeft deze de volgende eigenschappen:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Associatief recht: Als er drie instructieformules zijn, heeft deze de volgende eigenschappen:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Commutatieve wet: Als er twee instructieformules zijn, heeft deze de volgende eigenschappen:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Distributief recht: Als er drie instructieformules zijn, heeft deze de volgende eigenschappen:

bouwer ontwerppatroon

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Identiteitsrecht: Als er één instructieformule is, heeft deze de volgende eigenschappen:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Aanvulling wet: Als er één instructieformule is, heeft deze de volgende eigenschappen:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Absorptiewet: Als er twee instructieformules zijn, heeft deze de volgende eigenschappen:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Uit de wet van Morgan: Als er twee instructieformules zijn, heeft deze de volgende eigenschappen:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Methode 2: Vervangingsproces

Bij deze methode gaan we uit van een formule A: X → (Y → Z). De formule Y → Z staat bekend als het deel van de formule. Als we dit deel van de formule, d.w.z. Y → Z, vervangen met behulp van de equivalentieformule ¬Y ∨ Z in A, dan krijgen we een andere formule, namelijk B: X → (¬Y ∨ Z). Het is een eenvoudig proces om te verifiëren of de gegeven formules A en B gelijkwaardig aan elkaar zijn of niet. Met behulp van het vervangingsproces kunnen we B van A krijgen.

Voorbeeld 1: In dit voorbeeld moeten we bewijzen dat {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Oplossing: Hier nemen we het linkerzijdeel en proberen we het rechterzijdeel te krijgen.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Nu zullen we de associatieve wet als volgt gebruiken:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Nu zullen we de wet van De Morgan als volgt gebruiken:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Bewezen dus

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Voorbeeld 2: In dit voorbeeld moeten we bewijzen dat {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Oplossing: Hier nemen we het linkerzijdeel en proberen we het rechterzijdeel te krijgen.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Bewezen dus

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Voorbeeld 3: In dit voorbeeld moeten we bewijzen dat X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Oplossing: Hier nemen we het linkerzijdeel en proberen we het rechterzijdeel te krijgen.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Bewezen dus

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Voorbeeld 4: In dit voorbeeld moeten we bewijzen dat (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Oplossing: Hier nemen we het linkerzijdeel en proberen we het rechterzijdeel te krijgen.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Nu zullen we de associatieve en distributieve wetten als volgt gebruiken:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Nu zullen we de wet van De Morgan als volgt gebruiken:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Nu zullen we de distributieve wet als volgt gebruiken:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Bewezen dus

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Voorbeeld 5: In dit voorbeeld moeten we aantonen dat ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) een tautologie is.

Oplossing: Hier zullen we kleine onderdelen nemen en deze oplossen.

Eerst zullen we de wet van De Morgan gebruiken en het volgende verkrijgen:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Daarom,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Ook

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Vandaar

bash-variabele

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Dus

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Daarom kunnen we zeggen dat de gegeven formule een tautologie is.

Voorbeeld 6: In dit voorbeeld moeten we laten zien dat (X ∧ Y) → (X ∨ Y) een tautologie is.

Oplossing: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Nu zullen we de wet van De Morgan als volgt gebruiken:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Nu zullen we de associatieve wet en de commutatieve wet als volgt gebruiken:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Nu zullen we de negatiewet als volgt gebruiken:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Daarom kunnen we zeggen dat de gegeven formule een tautologie is.

Voorbeeld 7: In dit voorbeeld moeten we de ontkenning van enkele uitspraken schrijven, die als volgt worden beschreven:

1. Marry zal haar opleiding voltooien of de toetredingsbrief van XYZ Company accepteren.
2. Harry gaat morgen een ritje maken of hardlopen.
3. Als ik goede cijfers haal, zal mijn neef jaloers zijn.

Oplossing: Eerst zullen we de eerste verklaring als volgt oplossen:

1. Stel X: Marry zal haar opleiding voltooien.

Y: Accepteer de toetredingsbrief van XYZ Company.

We kunnen de volgende symbolische vorm gebruiken om deze verklaring uit te drukken:

 X ∨ Y 

De ontkenning van X ∨ Y wordt als volgt beschreven:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Concluderend zal de ontkenning van een gegeven verklaring zijn:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Stel X: Harry gaat een ritje maken

Y: Harry zal morgen rennen

We kunnen de volgende symbolische vorm gebruiken om deze verklaring uit te drukken:

 X ∨ Y 

De ontkenning van X ∨ Y wordt als volgt beschreven:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Concluderend zal de ontkenning van een gegeven verklaring zijn:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Stel X: Als ik goede cijfers haal.

Y: Mijn neef zal jaloers zijn.

We kunnen de volgende symbolische vorm gebruiken om deze verklaring uit te drukken:

 X → Y 

De ontkenning van X → Y wordt als volgt beschreven:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Concluderend zal de ontkenning van een gegeven verklaring zijn:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Voorbeeld 8: In dit voorbeeld moeten we de ontkenning van enkele uitspraken schrijven met behulp van de wet van De Morgan. Deze verklaringen worden als volgt omschreven:

1. Ik heb een diamanten set nodig en een gouden ring waard.
2. Je krijgt een goede baan, of je krijgt geen goede partner.
3. Ik moet veel werken en ik kan het niet aan.
4. Mijn hond gaat op reis of hij maakt er een zooitje van in huis.

Oplossing: De ontkenning van alle uitspraken met behulp van de wet van De Morgan wordt één voor één als volgt beschreven:

1. Ik heb geen diamanten set nodig of een gouden ring niet waard.
2. Je kunt geen goede baan krijgen en je krijgt wel een goede partner.
3. Ik heb niet veel werk nodig of ik kan het aan.
4. Mijn hond gaat niet op reis en maakt geen rommel in huis.

Voorbeeld 9: In dit voorbeeld hebben we enkele uitspraken en moeten we de ontkenning van die uitspraken schrijven. De uitspraken worden als volgt omschreven:

1. Als het regent, gaat het plan om naar het strand te gaan niet door.
2. Als ik hard studeer, haal ik goede cijfers op het examen.
3. Als ik laat op de avond naar een feestje ga, krijg ik straf van mijn vader.
4. Als je niet met mij wilt praten, moet je mijn nummer blokkeren.

Oplossing: De ontkenning van alle uitspraken wordt één voor één als volgt beschreven:

1. Als het plan om naar het strand te gaan niet doorgaat, dan regent het.
2. Als ik goede cijfers haal op het examen, dan studeer ik hard.
3. Als ik straf krijg van mijn vader, ga ik naar een laatavondfeest.
4. Als je mijn nummer moet blokkeren, wil je niet met mij praten.

Voorbeeld 10: In dit voorbeeld moeten we controleren of (X → Y) → Z en X → (Y → Z) logisch equivalent zijn of niet. We moeten ons antwoord rechtvaardigen met behulp van waarheidstabellen en met behulp van logische regels om beide uitdrukkingen te vereenvoudigen.

Oplossing: Eerst zullen we methode 1 gebruiken om te controleren of (X → Y) → Z en X → (Y → Z) logisch equivalent zijn, wat als volgt wordt beschreven:

programmeren in c-arrays

Methode 1: Hierbij gaan we uit van het volgende:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

En

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Methode 2: Nu zullen we de tweede methode gebruiken. Bij deze methode gebruiken we de waarheidstabel.

In deze waarheidstabel kunnen we zien dat de kolommen (X → Y) → Z en X → (Y → Z) geen identieke waarden bevatten.