Wat zijn de factoren van 45? 1, 3, 5, 9, 15 en 45.
Benieuwd hoe ik aan die cijfers kom? Factoring! Omdat het een wiskundige basis biedt voor meer gecompliceerde systemen, is het leren factoriseren van cruciaal belang. Dus of je nu studeert voor een algebra-toets, je aan het opfrissen bent voor de SAT of ACT, of je gewoon wilt opfrissen en wilt onthouden hoe je getallen moet ontbinden voor hogere wiskundeniveaus, dit is de gids voor jou.
Wat is factoring?
Factoring is de proces waarbij elk geheel getal wordt gevonden dat kan worden vermenigvuldigd met een ander geheel getal om gelijk te zijn aan een doelgetal . Beide veelvouden zijn factoren van het streefgetal.
Het ontbinden van getallen lijkt misschien een vervelende taak of het uit het hoofd leren zonder einddoel, maar ontbinden in factoren is een techniek die helpt de ruggengraat te vormen van veel complexere wiskundige processen.
Zonder te weten hoe je factoren moet ontbinden, zou het regelrecht moeilijk (zo niet onmogelijk) zijn om betekenis te geven aan polynomen en calculus, en zouden zelfs eenvoudige taken, zoals het verdelen van een cheque, veel lastiger worden om in je hoofd uit te vogelen.
Wat zijn de factoren van 45? Factoring in actie
Dit concept is misschien moeilijk te visualiseren, dus laten we eens naar alle factoren van 45 kijken om dit proces in actie te zien. De factoren van 45 zijn de getallenparen die samen vermenigvuldigd gelijk zijn aan 45 :
1 & 45 (omdat 1 * 45 = 45)
3 & 15 (omdat 3 * 15 = 45)
5 & 9 (omdat 5 * 9 = 45)
Dus in lijstvorm, de 45 factoren zijn 1, 3, 5, 9, 15 en 45 .
Gelukkig voor ons vereist factoring alleen de bovenste twee functies in deze afbeelding (jaja!)
Priemfactorisatie en de priemfactoren van 45
Een priemgetal is elk geheel getal groter dan 1 dat dat wel kan alleen (gelijkelijk) gedeeld worden door 1 en zichzelf. Een lijst met de kleinste priemgetallen is 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... enzovoort.
Prime factorisatie betekent het vinden van de priemgetalfactoren van een doelgetal die, wanneer ze met elkaar worden vermenigvuldigd, gelijk zijn aan dat doelgetal. Dus als we 45 als ons doelgetal gebruiken, willen we alleen de priemfactoren van 45 vinden die met elkaar moeten worden vermenigvuldigd om gelijk te worden aan 45.
We weten uit de bovenstaande factoren van 45 dat slechts enkele van deze factoren (3 en 5) priemgetallen zijn. Maar we weten ook dat 3 * 5 dat wel doet niet gelijk aan 45. Dus 3 * 5 is een onvolledige priemfactorisatie.
De eenvoudigste manier om een compleet Bij het ontbinden van priemgetallen van een bepaald doelgetal wordt gebruik gemaakt van een in wezen 'ondersteboven' deling, waarbij alleen wordt gedeeld door het kleinste priemgetal dat in elk resultaat past.
Bijvoorbeeld:
Deel het doelgetal (45) door het kleinste priemgetal dat er een rol in kan spelen. In dit geval is dat 3.
We eindigen met 15. Deel nu 15 door het kleinste priemgetal dat er een rol in kan spelen. In dit geval is het opnieuw 3.
We eindigen met een resultaat van 5. Deel nu 5 door het kleinste priemgetal dat er een rol in kan spelen. In dit geval is dat 5.
Hierdoor blijft er 1 over, dus we zijn klaar.
Bij de priemfactorisatie worden alle getallen aan de 'buitenzijde' met elkaar vermenigvuldigd. Als je het met elkaar vermenigvuldigt, is het resultaat 45. (Let op: we tellen de 1 niet mee, omdat 1 geen priemgetal is.)
Onze uiteindelijke priemfactorisatie van 45 is 3 * 3 * 5.
Een ander soort Prime.
De factoren van elk getal uitzoeken
Bij het uitzoeken van factoren, de snelste manier is om een factor te vinden paren zoals we eerder deden voor alle factoren van 45. Door de paren te vinden, halveer je je werk, omdat je zowel de kleinste als de grootste factoren tegelijkertijd vindt.
De snelste manier om alle factorparen te vinden die je nodig hebt om het doelgetal te ontbinden, is door de reservewortel van het doelgetal te vinden (of de vierkantswortel en naar beneden af te ronden op het dichtstbijzijnde gehele getal) en dat getal als je getal te gebruiken. stoppen punt voor het vinden van kleine factoren.
Waarom? Omdat je alle factoren die groter zijn dan het kwadraat al hebt gevonden door de factorparen van kleinere factoren te vinden. En je herhaalt deze factoren alleen als je blijft proberen factoren te vinden die groter zijn dan de vierkantswortel.
Maak je geen zorgen als dit op dit moment verwarrend klinkt! We werken aan de hand van een voorbeeld om u te laten zien hoe u kunt voorkomen dat u tijd verspilt aan het opnieuw zoeken naar dezelfde factoren.
Laten we dus de methode in actie zien om alle factoren van 64 te vinden:
Laten we eerst de wortel van 64 nemen.
√64 = 8
Nu weten we het alleen om ons te concentreren op de gehele getallen 1 - 8 om de eerste helft van al onze factorparen te vinden.
#1: Ons eerste factorpaar is 1 & 64
#2: 64 is een even getal, dus ons volgende factorpaar is 2 & 32.
#3: 64 kan niet gelijkmatig worden gedeeld door 3, dus 3 is GEEN factor.
#4: 64/4 = 16, dus ons volgende factorpaar is 4 & 16.
#5: 64 is niet deelbaar door 5, dus 5 is GEEN factor van 64.
#6: 6 past niet gelijkmatig in 64, dus 6 is GEEN factor van 64.
#7: 7 gaat niet gelijkmatig in 64, dus 7 is GEEN factor 64.
#8: 8 * 8 (8 kwadraat) is gelijk aan 64, dus 8 is een factor 64.
En we kunnen hier stoppen, omdat 8 de wortel is van 64. Als we zouden blijven proberen factoren te vinden, zouden we alleen de grotere getallen uit onze eerdere factorparen herhalen (16, 32, 64).
Onze definitieve lijst met factoren van 64 is 1, 2, 4, 8, 16, 32 en 64.
Factoren (zoals eendjes) zijn altijd beter in paren.
Snelkoppelingen voor het vinden van factoren
Laten we nu eens kijken hoe we dat kunnen doen snel vind de kleinste factoren (en dus de factorparen) van een doelgetal. Hieronder heb ik enkele handige trucs uiteengezet om te bepalen of de getallen 1-11 deel uitmaken van een bepaald getal.
1) Wanneer u een getal wilt ontbinden, kunt u altijd meteen beginnen met twee factoren: 1 en het doelgetal (bijvoorbeeld 1 & 45, als u 45 ontbindt). Elk getal (behalve 0) kan altijd met 1 worden vermenigvuldigd om zichzelf gelijk te maken, dus 1 wil altijd een factor zijn.
2) Als het doelgetal even is, zijn uw volgende factoren 2 en de helft van het doelgetal. Als het getal oneven is, weet je automatisch dat het niet gelijkmatig door 2 gedeeld kan worden, en dus zal 2 GEEN factor zijn. (In feite, als het doelgetal oneven is, zal het geen factoren hebben van ELK even getal.)
3) Een snelle manier om erachter te komen of een getal deelbaar is door 3, is door de cijfers van het doelgetal bij elkaar op te tellen. Als 3 een factor is van de cijfersom, dan is 3 ook een factor van het doelgetal.
Stel bijvoorbeeld dat ons doelgetal 117 is en dat we daar rekening mee moeten houden. We kunnen erachter komen of 3 een factor is door de cijfers van het doelgetal (117) bij elkaar op te tellen:
1 + 1 + 7 = 9
gekoppelde lijst
3 kan worden vermenigvuldigd met 3 om gelijk te zijn aan 9, dus 3 kan gelijkmatig in 117 passen.
117/3 = 39
3 & 39 zijn delers van 117.
4) Een doelnummer zal pas een factor 4 hebben als dat streefgetal even is . Als dat zo is, kun je erachter komen of 4 een factor is door naar het resultaat van een eerder factorpaar te kijken. Als bij het delen van een doelgetal door 2 de uitkomst nog steeds even is, zal het doelgetal ook deelbaar zijn door 4. Zo niet, dan heeft het doelgetal GEEN factor 4.
Bijvoorbeeld:
18/2 = 9. 18 is NIET deelbaar door 4 omdat 9 een oneven getal is.
56/2 = 28. 56 IS deelbaar door 4 omdat 28 een even getal is.
5) 5 zal een zijn factor van alle getallen die eindigen op de cijfers 5 of 0 . Als het doel op een ander getal eindigt, heeft het geen factor 5.
6) 6 zal altijd een factor zijn van een streefgetal als het doelgetal de factoren ZOWEL 2 als 3 heeft . Als dat niet het geval is, zal 6 geen factor zijn.
7) Helaas, er zijn geen snelkoppelingen om te bepalen of 7 een factor is van een ander getal dan het onthouden van de veelvouden van 7.
8) Als het doel getal heeft GEEN deler 2 en 4, het zal ook geen factor 8 hebben . Als het de factoren 2 en 4 heeft, is het macht heb een factor 8, maar je zult moeten delen om het te zien (helaas is er geen handige truc voor behalve dat en het onthouden van de veelvouden van 8).
9) Je kunt erachter komen of 9 een factor is door de cijfers van het doelnummer bij elkaar optellen . Als ze optellen tot een veelvoud van 9, dan heeft het doelgetal wel 9 als factor.
Bijvoorbeeld:
42 → 4 + 2 = 6. 6 is NIET deelbaar door 9, dus 9 is GEEN deler van 42.
72 → 7 + 2 = 9. 9 IS deelbaar door 9 (uiteraard!), dus 9 is een factor 72.
10) Als een doelwit getal eindigt op 0 , dan zal het altijd een factor 10 hebben. Zo niet, dan is 10 geen factor.
elf) Als een doelnummer a tweecijferig nummer waarbij beide cijfers zich herhalen (22, 33, 66, 77…), dan heeft het 11 als factor. Als het een getal van drie cijfers of hoger is, moet je eenvoudig zelf testen of het deelbaar is door 11.
12+) Op dit punt heb je waarschijnlijk je grotere getallen, zoals 12, 13 en 14, al gevonden door je kleinere factoren te vinden en factorparen te maken. Als dat niet het geval is, moet u ze handmatig testen door ze in uw doelnummer te verdelen.
Als u uw technieken voor snel factoring leert, vallen al die vervelende stukjes precies op hun plaats.
Tips om 45 factoren te onthouden
Als het uw doel is om alle factoren van 45 te onthouden, kunt u altijd de bovenstaande technieken gebruiken om factorparen te vinden.
De vierkantswortel van 45 ligt ergens tussen 6 en 7 (6^2 = 36 en 7^2 = 49). Rond af naar 6, wat het grootste kleine getal is dat u moet testen.
Je weet dat het eerste paar automatisch 1 & 45 is. Je weet ook dat 2, 4 en 6 geen factoren zijn, omdat 45 een oneven getal is.
4 + 5 = 9, dus 3 zal een factor zijn (net als 15, omdat 45/3 = 15).
En tenslotte eindigt 45 in een 5, dus 5 zal een factor zijn (net als 9, want 45/5 = 9).
Dit bewijst dat je kan altijd erachter te komen de factoren van 45 extreem snel, zelfs als u de exacte getallen in de lijst niet uit uw hoofd kent.
Of, als u liever alle 45 factoren specifiek uit uw hoofd leert, kunt u zich het volgende herinneren: voor factor 45 heb je alleen de kleinste drie oneven getallen nodig (1, 3, 5) . Koppel ze nu gewoon aan de overeenkomstige veelvouden om 45 (45, 15, 9) te krijgen.
Conclusie: waarom factoring belangrijk is
Factoring vormt de basis voor hogere vormen van wiskundig denken, dus het leren factoriseren zal u goed van pas komen bij zowel uw huidige als toekomstige wiskundige inspanningen.
Of u nu voor het eerst leert of gewoon de tijd neemt om uw factorkennis op te frissen, het nemen van de stappen om deze processen te begrijpen (en de trucs te kennen om uw factoren het meest efficiënt te krijgen!) zal u helpen om te komen waar u wilt. wees in je wiskundige leven.
Veel factoringplezier!