Laat A, B en C verzamelingen zijn, en laat R een relatie zijn van A naar B en laat S een relatie zijn van B naar C. Dat wil zeggen, R is een deelverzameling van A × B en S is een deelverzameling van B × C. Dan geven R en S aanleiding tot een relatie van A naar C aangegeven door R◦S en gedefinieerd door:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S 

De relatie R◦S is de samenstelling van R en S; het wordt soms eenvoudigweg aangeduid met RS.

Laat R een relatie zijn op een verzameling A, dat wil zeggen dat R een relatie is van een verzameling A tot zichzelf. Dan wordt R◦R, de samenstelling van R met zichzelf, altijd weergegeven. Ook wordt R◦R soms aangeduid met R². Op dezelfde manier, R³= R²◦R = R◦R◦R, enzovoort. Dus R^Nis gedefinieerd voor alle positieve n.

Voorbeeld 1: Stel X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} en Z = {l, m, n}. Beschouw de relatie R₁van X tot Y en R₂van Y tot Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)} 

Zoek de samenstelling van de relatie (i) R₁de R₂ (ii) R₁de R₁^-1

Oplossing:

(i) De compositierelatie R₁de R₂zoals weergegeven in afbeelding:

R₁de R₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) De compositierelatie R₁de R₁^-1zoals weergegeven in afbeelding:

R₁de R₁^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Samenstelling van relaties en matrices

Er is een andere manier om R◦S te vinden. Laat m_Ren M_Sgeven respectievelijk de matrixrepresentaties van de relaties R en S aan. Dan

Voorbeeld

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR 

Oplossing: De matrices van de relatie R en S zijn weergegeven in figuur:

(i) Om de samenstelling van de relatie R en S te verkrijgen. Vermenigvuldig eerst M_RMet m_Som de matrix M te verkrijgen_Rx M_Szoals weergegeven in afbeelding:

De niet-nul-items in de matrix M_Rx M_Svertelt de elementen die verband houden met RoS. Dus,

Vandaar dat de samenstelling R o S van de relatie R en S is

Java-klassediagram

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. 

(ii) Vermenigvuldig eerst de matrix M_Rop zichzelf, zoals getoond in Fig

Vandaar dat de samenstelling R o R van de relatie R en S is

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} 

(iii) Vermenigvuldig de matrix M_SMet m_Rom de matrix M te verkrijgen_Sx M_Rzoals weergegeven in afbeelding:

De niet-nul vermeldingen in matrix M_Sx M_Rvertelt de elementen die verband houden met S o R.

Vandaar dat de samenstelling S o R van de relatie S en R is

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.