Als je trig- of calculus studeert (of je daar klaar voor maakt) moet je bekend raken met de eenheidscirkel. De eenheidscirkel is een essentieel hulpmiddel dat wordt gebruikt om de sinus, cosinus en tangens van een hoek op te lossen. Maar hoe werkt het? En welke informatie moet u weten om er gebruik van te kunnen maken?

In dit artikel leggen we uit wat de eenheidscirkel is en waarom je deze moet kennen. Ook geven we je drie tips om je te helpen herinneren hoe je de eenheidscirkel gebruikt.

Functieafbeelding: Gustavb /Wikimedia

De eenheidscirkel: een basisintroductie

De eenheidscirkel is een cirkel met straal 1. Dit betekent dat voor elke rechte lijn die vanuit het middelpunt van de cirkel naar een willekeurig punt langs de rand van de cirkel wordt getrokken, de lengte van die lijn altijd gelijk zal zijn aan 1. (Dit betekent ook dat de diameter van de cirkel gelijk zal zijn aan 2, aangezien de diameter is gelijk aan tweemaal de lengte van de straal.)

Typisch, het middelpunt van de eenheidscirkel is waar de x-as en de y-as elkaar snijden, of op de coördinaten (0, 0):

De eenheidscirkel, of trigonomische cirkel zoals deze ook bekend staat, is handig om te weten omdat Hiermee kunnen we eenvoudig de cosinus, sinus en tangens berekenen van elke hoek tussen 0° en 360° (of 0 en 2π radialen).

Zoals je in het bovenstaande diagram kunt zien, creëer je een rechthoekige driehoek door een straal onder een willekeurige hoek te tekenen (gemarkeerd met ∝ in de afbeelding). Op deze driehoek is de cosinus de horizontale lijn en de sinus de verticale lijn. Met andere woorden, cosinus =x-coördinaat, en sinus = y-coördinaat. (De langste lijn van de driehoek, of hypotenusa, is de straal en is daarom gelijk aan 1.)

Waarom is dit allemaal belangrijk? Onthoud dat je de lengtes van de zijden van een driehoek kunt berekenen met behulp van de Stelling van Pythagoras, of $a^2+b^2=c^2$ (waarin A En B zijn de lengtes van de zijden van de driehoek, en C is de lengte van de hypotenusa).

We weten dat de cosinus van een hoek gelijk is aan de lengte van de horizontale lijn, de sinus gelijk is aan de lengte van de verticale lijn en de hypotenusa gelijk is aan 1. Daarom kunnen we zeggen dat de formule voor elke rechthoekige driehoek in de eenheidscirkel is als volgt:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Omdat ^2=1$, kunnen we deze vergelijking als volgt vereenvoudigen:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Wees bewust van deze waarden kunnen negatief zijn afhankelijk van de gevormde hoek en in welk kwadrant de x- en y-coördinaten vallen (ik zal dit later in meer detail uitleggen).

Hier is een overzicht van alle belangrijke hoeken in graden en radialen op de eenheidscirkel:

Eenheidscirkel — Graden

Eenheidscirkel — Radialen

Maar wat als er geen driehoek gevormd wordt? Laten we eens kijken wat gebeurt er als de hoek 0° is en er een horizontale rechte lijn langs de x-as ontstaat:

Op deze lijn is de x-coördinaat gelijk aan 1 en de y-coördinaat gelijk aan 0. Dat weten we de cosinus is gelijk aan de x-coördinaat, en de sinus is gelijk aan de y-coördinaat, dus we kunnen dit schrijven:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Wat als de hoek 90° is en een perfect verticale lijn langs de y-as vormt?

Hier kunnen we zien dat de x-coördinaat gelijk is aan 0 en de y-coördinaat gelijk is aan 1. Dit geeft ons de volgende waarden voor sinus en cosinus:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Deze slogan is zeker van toepassing als je geen wiskundeliefhebber bent.

Waarom u de eenheidscirkel moet kennen

Zoals hierboven vermeld, is de eenheidscirkel nuttig omdat het stelt ons in staat gemakkelijk de sinus, cosinus of tangens van elke graad of radiaal op te lossen. Het is vooral handig om het eenheidscirkeldiagram te kennen als je bepaalde trigwaarden moet oplossen voor wiskundehuiswerk of als je je voorbereidt op het studeren van calculus.

Maar hoe kan het kennen van de eenheidscirkel je precies helpen? Stel dat u bij een wiskundetoets het volgende probleem krijgt, en dat is ook zo niet mag een rekenmachine gebruiken om het op te lossen:

$$sin30°$$

Waar begin je? Laten we deze keer opnieuw naar het eenheidscirkeldiagram kijken met alle hoofdhoeken (zowel in graden als in radialen) en de bijbehorende coördinaten:

Jim.belk /Wikimedia

Raak niet overweldigd! Onthoud: het enige dat u oplost is $sin30°$. Als we naar deze grafiek kijken, kunnen we dat zien de y-coördinaat is gelijk aan /2$ bij 30°. En aangezien de y-coördinaat gelijk is aan sinus, is ons antwoord als volgt:

$$sin30°=1/2$$

Maar wat als u een probleem krijgt waarbij gebruik wordt gemaakt van radialen in plaats van graden? Het proces om het op te lossen is nog steeds hetzelfde. Stel dat u bijvoorbeeld een probleem krijgt dat er als volgt uitziet:

$$cos{{3π}/4}$$

Wederom kunnen we met behulp van het bovenstaande diagram zien dat de x-coördinaat (of cosinus) voor ${3π}/4$ (wat gelijk is aan 135°) $-{√2}/2$ is. Zo zou ons antwoord op dit probleem er dan uitzien:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Dit alles is vrij eenvoudig als u het bovenstaande eenheidscirkeldiagram als referentie kunt gebruiken. Maar meestal (zo niet altijd) zal dit niet het geval zijn, en er wordt van je verwacht dat je dit soort wiskundevragen alleen met je hersenen beantwoordt.

Dus hoe kun je de eenheidscirkel onthouden? Lees verder voor onze toptips!

Hoe u de eenheidscirkel kunt onthouden: 3 essentiële tips

In dit gedeelte geven we je onze beste tips voor het onthouden van de driehoekscirkel, zodat je deze gemakkelijk kunt gebruiken voor elk wiskundig probleem waarvoor dit nodig is.

Ik zou het niet aanraden om de eenheidscirkel met post-its te oefenen, maar het is een begin.

#1: Onthoud gemeenschappelijke hoeken en coördinaten

Om de eenheidscirkel effectief te kunnen gebruiken, is dit nodig onthoud de meest voorkomende hoeken (zowel in graden als in radialen) en de bijbehorende x- en y-coördinaten.

Het bovenstaande diagram is een handig eenheidscirkeldiagram om naar te kijken, omdat het alle grote hoeken in zowel graden als radialen bevat, naast hun corresponderende coördinaatpunten langs de x- en y-assen.

Hier is een diagram met dezelfde informatie in tabelvorm:

Hoewel je meer dan welkom bent om al deze coördinaten en hoeken uit je hoofd te leren, is dit wel zo veel van dingen om te onthouden.

Gelukkig is er een truc die je kunt gebruiken om je te helpen de belangrijkste delen van de eenheidscirkel te onthouden.

Kijk naar de coördinaten hierboven en je zult een duidelijk patroon zien: alle punten (behalve die op 0°, 90°, 270° en 360°) wissel af tussen slechts drie waarden (positief of negatief):

• $ 1/2 $
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Elke waarde komt overeen met een korte, middellange of lange lijn voor zowel cosinus als sinus:

Dit is wat deze lengtes betekenen:

Korte horizontale of verticale lijn= /2$ Middelgrote horizontale of verticale lijn= ${√2}/2$ Lange horizontale of verticale lijn= ${√3}/2$

Als u bijvoorbeeld $cos{π/3}$ probeert op te lossen, moet u meteen weten dat deze hoek (die gelijk is aan 60°) aangeeft een korte horizontale lijn op de eenheidscirkel. Daarom, de corresponderende x-coördinaat moet gelijk zijn aan /2$ (een positieve waarde, aangezien $π/3$ een punt creëert in het eerste kwadrant van het coördinatensysteem).

Tot slot, hoewel het nuttig is om alle hoeken in de bovenstaande tabel te onthouden, moet u daar rekening mee houden veruit de belangrijkste invalshoeken om te onthouden zijn de volgende:

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

Behandel uw negatieve en positieve punten zoals u zou doen met kabels die u mogelijk kunnen doden als ze verkeerd worden aangesloten.

#2: Ontdek wat negatief en wat positief is

Het is van cruciaal belang dat u positieve en negatieve x- en y-coördinaten kunt onderscheiden, zodat u de juiste waarde voor een trig-probleem kunt vinden. Als een herinnering, In Of een coördinaat op de eenheidscirkel positief of negatief zal zijn, hangt ervan af onder welk kwadrant (I, II, III of IV) het punt valt:

Hier is een diagram dat laat zien of een coördinaat positief of negatief zal zijn, gebaseerd op het kwadrant waarin een bepaalde hoek (in graden of radialen) zich bevindt:

Stel dat u bij een wiskundetoets het volgende probleem krijgt:

$$cos210°$$

Voordat je zelfs maar probeert het op te lossen, zou je moeten kunnen herkennen dat het antwoord zal zijn een negatief getal aangezien de hoek 210° in kwadrant III valt (waar de x-coördinaten zijn altijd negatief).

Met behulp van de truc die we in tip 1 hebben geleerd, kun je erachter komen dat er een hoek van 210° ontstaat een lange horizontale lijn. Daarom luidt ons antwoord als volgt:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Weet hoe je de raaklijn moet oplossen

Ten slotte is het essentieel om te weten hoe je al deze informatie over de driehoekscirkel en sinus en cosinus kunt gebruiken om de raaklijn van een hoek oplossen.

In trig kun je eenvoudig de raaklijn van een hoek θ (in graden of radialen) vinden deel de sinus door de cosinus:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Stel bijvoorbeeld dat u dit probleem probeert te beantwoorden:

$$ an300°$$

De eerste stap is het opstellen van een vergelijking in termen van sinus en cosinus:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Om de raaklijn op te lossen, moeten we de sinus vinden En cosinus van 300°. Je zou snel moeten kunnen herkennen dat de hoek van 300° in het vierde kwadrant valt, wat betekent dat de cosinus, of x-coördinaat, zal positief zijn, en de sinus, of y-coördinaat, zal negatief zijn.

Dat moet je ook meteen weten de hoek van 300° ontstaat een korte horizontale lijn en een lange verticale lijn. Daarom zal de cosinus (de horizontale lijn) gelijk zijn aan /2$, en de sinus (de verticale lijn) zal gelijk zijn aan $-{√3}/2$ (een negatieve y-waarde, aangezien dit punt in kwadrant IV ligt) .

Om de raaklijn te vinden, hoef je alleen maar de stekker in het stopcontact te steken en het volgende op te lossen:

inttostr java

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

Tijd om je wiskundige vaardigheden te verbeteren!

Unit Circle Oefenvragenset

Nu je weet hoe de eenheidscirkel eruit ziet en hoe je deze moet gebruiken, gaan we met een paar oefenproblemen testen wat je hebt geleerd.

Vragen

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Antwoorden

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. $ 1/2 $
4. $-√3$

Antwoordverklaringen

#1: $sin45°$

Bij dit probleem zijn er twee soorten informatie die u meteen zou moeten kunnen identificeren:

Het antwoord zal positief zijn,aangezien de hoek van 45° in kwadrant I ligt, en de sinus van een hoek gelijk is aan de y-coördinaat

• De hoek van 45° ontstaat een middellange verticale lijn (voor hun)

Omdat 45° een positieve, middellange lijn aangeeft, het juiste antwoord is ${√2}/2$.

Als u niet zeker weet hoe u dit moet berekenen, teken dan een diagram om u te helpen bepalen of de lengte van de lijn kort, middelmatig of lang zal zijn.

#2: $cos240°$

Net als bij probleem nr. 1 hierboven zijn er twee stukjes informatie die u bij dit probleem snel zou moeten kunnen begrijpen:

Het antwoord zal negatief zijn,aangezien de hoek 240° in kwadrant III ligt, en de cosinus van een hoek gelijk is aan de x-coördinaat

• De hoek van 240° ontstaat een korte horizontale lijn (voor cosinus)

Omdat 240° een negatieve, korte lijn aangeeft, het juiste antwoord is $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

In tegenstelling tot de bovenstaande problemen wordt bij dit probleem gebruik gemaakt van radialen in plaats van graden. Hoewel dit het probleem misschien lastiger lijkt om op te lossen, worden in werkelijkheid dezelfde basisstappen gebruikt als voor de andere twee problemen.

Ten eerste moet je beseffen dat de hoek ${5π}/3$ in kwadrant IV ligt, dus de x-coördinaat, of cosinus, zal zijn een positief getal. Dat moet je ook kunnen vertellen${5π}/3$creëert een korte horizontale lijn.

Dit geeft u voldoende informatie om dat te bepalen de antwoord is $ 1/2 $.

#4: $ an{2π}/3$

Dit probleem heeft te maken met de raaklijn in plaats van de sinus of cosinus, wat betekent dat het wat meer wiskunde van onze kant vereist. Allereerst: onthoud de basisformule voor het vinden van de raaklijn:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Laten we nu het diploma nemen dat ons is gegeven: ${2π}/3$-en plug het in deze vergelijking:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Je zou nu de sinus en cosinus afzonderlijk moeten kunnen oplossen met behulp van wat je over de eenheidscirkel hebt onthouden. Omdat de hoek ${2π}/3$ in kwadrant II ligt, de x-coördinaat (of cosinus) zal negatief zijn, en de y-coördinaat (of sinus) zal positief zijn.

Vervolgens zou u alleen op basis van de hoek moeten kunnen bepalen wat de horizontale lijn is een korte lijn, en de verticale lijn is een lange rij. Dit betekent dat de cosinus gelijk is aan $-1/2$, en de sinus gelijk is aan ${√3}/2$.

Nu we deze waarden hebben bedacht, hoeven we ze alleen nog maar in onze initiële vergelijking in te voeren en de raaklijn op te lossen:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Wat is het volgende?

Als je binnenkort de SAT of ACT gaat volgen, moet je een aantal zaken kennen, zodat je het goed kunt doen in het wiskundegedeelte. Bekijk onze deskundige handleidingen om de SAT en ACT uit te proberen, zodat je precies leert wat je moet weten voor de testdag!

Naast het onthouden van de eenheidscirkel, Het is een goed idee om te leren hoe u cijfers en antwoorden invoegt. Lees onze handleidingen om alles te leren over deze twee handige strategieën, die je kunt gebruiken bij elke wiskundetoets, inclusief de SAT en ACT!